(li'S normales duns les courbes du second degré. 21 



17. Nous avons vu, n" précédent, que la droite ij = nx+h est 

 tangente h l'ellipse lorsqu'on a a'n'-i-b'' = h' . Supposons mainte- 

 nant qu'un point (p,q) se trouve sur la tangente , on aura 

 q = np+h et a'n'-i-b'=h'. 

 En éliminante entre ces équations , il vient 

 a'n'-\-b'=z{q— np)'. 



Si on remplace „ par _±.on aura 

 n 



a'-^b'n' = {qn-{py , ] 



ou bien > (51). 



(q'-—b'-)n'-{-2pqn + {p'—a')=o. ) 



Cette équation donne les directions des deux normales corres- 

 pondantes au point (p,q)- Or les directions de quatre normales à 

 l'ellipse sont données par l'équation (19), savoir 

 (a' + b'n-){kii—l)'=c^n'. 



Donc en combinant cette équation avec ja précédente, on aura 



{qn+py[kn-I)'=c^n' 

 ou bien 



{qn-\-p){lcn-l]=c'n. (52). 



Cette équation est du second degré en n. Mais en plaçant le signe 

 ± devant le second membre, comme on a dû le faire, on a deux 

 équations du second degré en n et par conséquent quatre directions. 

 Nous préférons le signe -j- devant le second membre de l'équatiou 

 (52) , pour des raisons qui suivent. En supposant que les équations 

 (,52) et (,51) soient identiques, on pourrait égaler les coefficients de 

 mêmes puissances de n et l'on aurait 



p'— g' _ Ip 

 q' — 6' kq 



'2pq kp — Iq — c^ 



qi—b' kq 



Or ces équations sont les mêmes que (34) et (3G) . 

 Donc , pour 1 identité des équations ^52) et (51) , il faut préférer 

 le signe + devant le second membre de la première d'entre elles. 

 Cela posé , on peut écrire 



P %--*") 



cl poser 



