22 J. Mabtynowski. — De la construction 



tp' — a'-) !(g'—l,'\ 

 — =i, -^ =— t 



P q 



de sorte qu'on aura 



kp'-—lp—ka^=o, ... (53). 



lq'+tg-lb' = o, ... (54). 



2lc!pq=t(c'—kp+lq), ... (55). 

 pour déterminer p , q et t. Ea tirant la valeur de q de la dernière 



et substituant cette valeur dans la seconde des trois équations, 

 il vient 



h\c'-kpy + t'{c'~hp)H2kp~t)-L'l\2lq)-'iY=^o. 

 ou bien 



t' {c' —kp)[c'-j-kp- t}—b~- l\2hp~iy- -o , 



t'{c''—ky—t{c"-~kp))—b'i'{âky-ikpt+i']==o, 



t\c'^—lc'—k{kp'—lp))-^lj'l\U{kp'~pt)+t')=-o. 

 Or , l'équation (53) donne kp' — tp=ka' ; substituant on aura 



t\c'-lv'—ka-)—b'l\U'a' + f)=o , 

 ou bien 



cH^-\-{ak'-\-b'lT—c'i)l'-\-4a'b-hl'=o. 



En remplaçant , dans cette dernière équation , ainsi que dans 

 celles données ci-dessus , sous les marques (53) et (.54) , t par t~' , 

 on aura 



kt-p' — p — kta'—o ... (56). 



U'q'-\-g—ltbT=o ... (57). 



ia'b'tl'-t^+(^a^k'-\-bH^—c^)l-\-c'i=o ... (58). 



équations qui servent très commodément à résoudre l'équation (38) 

 du sixième degré en q. 



18. Scholie. Ainsi lorsque d'un point (k,l), on veut abaisser toutes 

 les normales possibles sur l'ellipse a'y-\-b'x'~a'b' , on a , pour 

 calculer les coordonnées des pieds des normales, les équations (16) 

 et (17), cl pour calculer les directions des normales l'équation (19). 



Ces équations complètes du quatrième degré ne se prêtent pas fa- 

 cilement au calcul. Mais ou peut d'abord chercher les points d'inter- 

 section des tangentes correspondantes , à l'aide des équations (56) , 

 (57) et (58). Au moyen de ces trois dernières équations, on peut 

 facilement trouver la position de l'une de six sécantes qui passent 

 par les pieds des normales. 



Bemargue 1. Le problème des normales à l'ellipse , amené à la ré- 

 solution des équations (56), (57) et (58), se laisse facilement discuter. 



