des normales dans les courbes du second degré. 23 



D'abord on voit que l'équation (58) , dépourvue du second terme, 

 ne peut se trouver que dans l'un des trois cas suivants: 1° ou elle 

 aura trois racines réelles inégales ; 2' ou trois racines réelles dont 

 deux égales ; ,3° ou bien une seule racine réelle. Pour faciliter la 

 discussion , mettons l'équation (58) sous la forme 

 «'+3u<-|-2!)=o. 

 Cela posé, l'une des racines de t sera 



Si u est]>o , t n'a qu'une racine réelle. Par conséquent on n'aura 

 que deux valeurs réelles de p et autant de valeurs correspondantes 

 de y. De ces deux points ip,q^, on ne pourra mener que quatre tan- 

 gentes à l'ellipse; ou bien on n'aura que deux sécantes a'qy-\-b'px 

 =a'b' possibles. C'est le cas , dans lequel on ne peut abaisser sur 

 l'ellipse que deux normales. On voit que cette circonstance dépend , 

 dans l'équation en t, de m]>o. Donc, dans l'équation (58), il faut 



qu'on ait a'k-\-PP>^c^. Ainsi de tous les points de l'ellipse , cons- 



truile sur les axes de la développée , et de tous les points ex- 

 térieurs à cette ellipse , on ne pourra abaisser sur l'ellipse a'y^-\-b'x' 

 —a^b^ que deux normales. 



Pour que t ait toutes les racines réelles, il faut que, m étant néga- 



gatif , on ait u^^v. Ainsi , l'équation en t étant de la forme 



^-3u<-f2u=o, (59). 



on aura , pour l'une de ses racines 



t=\/'—'^ ■^[/v'—u'-\-\/—v^y'v'~uK ... (60). 



En comparant cette dernière équation avec (58), et c'est ce qui se 

 fait en posant 



a'k'+b'l'—c'' c' 



on déduit aisément que l'équation (58) ne peut avoir toutes les 

 racines réelles que lorsque 



a't-^-b'l-àT—S' a'b^-kf 



Dans le cas du signe = on a l'équation (13) de la développée; 

 dans celui du signe <le point {k.l) est assajétie à se trouver en de- 

 dans de la développée. 



