21 J. Ma)!TYNowski — De la construction 



Supposons que t ait deux de ses trois racines égales. Comme t 

 n'a à proprement dire que deux valeurs différentes ; p et y n'en au- 

 ront chacune que quatre différentes. C'est le cas du problème des 

 trois normales, n" 12. Le point (/f.Z) se trouve sur la développée. 

 Les trois couples des valeurs de p clq correspondent aux trois som- 

 mets du triangle circonscrit à l'ellipse ; et le quatrième au point où 

 se réunissent les pieds des deux normales. 



Enfin ,si < a trois racines réelles inégales; p et 7 en auront six. Le 

 point (k,T) sera en dedans de la développée et on aura quatre norma- 

 les à abaisser sur l'ellipse. 



Remarque IL Nous n'avons parlé , dans l'équation (59) , que de 

 l'une des trois racines réelles, que nous avons mise sous la forme 

 (60). Dans ce cas, toutes les racines sont compliquées des expressions 

 imaginaires, dont on les dégage comme il suit. Mettons d'abord 

 l'équation (.<iO) sous la forme 



Cela étant, il est permis de poser 



— jj=rcos3, |/m' — v''=^rs\n$; 

 de sorte qu'on aura 



r =«% tang9= 



Après avoir ainsi déterminé r et , on aura 



<=J/ rcosô-i-l/ — l-rsin9-j-|/ ''cosô— |/ — I .j-sinC : 



Donc, d'après le théorème de .Moivre, il vient 



<=2i^r-coSï5. 



Les deux autres racines se trouvent par la considéra'.ion que cosO 

 =co (23--]-6)=cos(4t+9)=... 

 Donc, les deux autres racines de /seront 



ï=2p/ ^cosi(2îr-f î) !ip/7:co.sH4T-j-(;). 



Dans le cas des deux racines égales, 6=0. L'une des racines est 



t^iP'r. 

 Les deux autres égales deviennent 



<=2^r-cosl20^=— p/r. 

 19. Les équations (56) , (57) et (£8) peuvent servir à déterminer 



