des normales dans les courbes du second degré. 27 



par les points de concours des normales correspondantes aux tan- 

 gentes rectangulaires. Ainsi , l'équation de la courbe cherchée est 



De la construction des normales dans la parabole. 



20. Soit y=2ax l'équation de la parabole. En procédant comme 

 dans le n° 5 , on trouve 



ou bien 



x}j — (A: — a)y=^al, 



pour équation de la droite assujétie à passer par le point (k,l) et a 

 être normale au point (x,y) de la parabole. D'oiî il résulte que si du 

 point {k,l) on veut abaisser une ou plusieurs normales sur la para- 

 bole, il faut tracer l'hyperbole a:;/—(/i:—a)!/=aZ;et les pieds dcr nor- 

 males cherchées se trouveront sur l'intcrseclion des deux courbes. 

 La simple mise de x' à la place de x~k-{-a amène l'équation de 

 l'hyperbole solutrice à la forme x'y = aL Donc cette hyperbole a 

 l'axe de la parabole pour l'une de ses assymptotes. Le centre de l'hy- 

 perbole est facile à trouver, parce que la transformation .r — ^+0 

 =x' indique que le centre en question est , à partir de l'origine , 

 le point correspondant à l'abscisse k~a. Supposons que ce centre 

 soit situé quelque part sur l'axe et intérieur à la parabole. Par ce 

 point menons la perpendiculaire à l'axe de celle-ci : et nous aurons 

 les assymptotes de l'hyperbole solutrice. Si dans les angles opposés des 

 assymptotes, on trace les deux branches d'une hyperbole, il est aisé de 

 voir qu'elles ne pourront couper la parabole qu'en trois points au 

 plus. Il se peut encore que l'une des branches de l'hyperbole de- 

 vienne tangente à la parabole ou bien soit entièrement en dehors de 

 cette dernière courbe. D'où il résulte que d'un point (/£,0 on ne 

 pourra abaisser sur la parabole que trois normales au plus, deux 

 ou bien une. Toutes ers coiisidéralioos s'in terprèteroiU facilement 

 au moyen de la seule équation qui donne les ordonnées des pieds 

 des normales. 



21. Eliminons x enlvc y'=2ax et xy — {k — a)y = al; nous 

 aurons 



