28 J. Maiitïsowski. — De la construction 



Celle équalion donne les pieds des normales cherchées. Comme 

 elle est du troisième degré, dépourvue du sccoud terme, elle ne 

 pourra se trouver que dans l'un des trois cas suivants : ou 1° elle 

 aura trois racines réelles inégales ; ou 2° elle aura trois racines 

 réelles , dont deux égales ; ou 3" elle aura seulement une racine 

 réelle. Ce dernier cas a toujours lieu pour /f<[o. Les trois racines 

 réelles ne paraissent que lorsque k'^a. Mais celte circonstance seule 

 ne suffit pas : il faut encore qu'on ait 



2aik-a) \^=/ 2a'l y 

 ou bien 



Le signe == a lieu lorsque des trois racines de y deux sont égales, 

 et le signe >• lorsque les trois racines de y sont réelles et inégales. 



22. En procédant comme dans le n° (8) on trouvera que la déve- 

 loppée de la parabole, a pour équation 



8[k-aY=27al-. 



Cela posé , il sera aisé de démontrer que cette courbe commence 

 par un point de rebroussement, silué sur l'axe des a;, à la dislance 

 k=a de l'origine ; qu'au delà elle présente deux branches symétri- 

 ques tournant leur convexité vers l'axe des a;.Pour trouver les points 

 où cette courbe coupe la parabole il faut combiner l'équation pré- 

 cédente avec k'=2ak ; de sorte qu'en éliminant Z' , on trouve 



4(/;_a)?=27o'ft, 

 équation du 3° degré en k , n'ayant qu'une racine réelle. Il est aisé 

 de démontrer cette circonstance en posant k — a=k'. La seule ra- 

 cine réelle en k, dont nous venons de parler, est l'abscisse correspou- 

 danle aux deux points symétriques oîi la développée la coupe. Ainsi 

 la développée de la développée de la parabole, en commencantd'abord 

 par élre comprise , Cnit par couper et comprendre celle dernière. 



Cela posé, il résulte des considérations du n" précédent , que selon 

 que le point [k,l) est en dehors sur la développée, ou bien en dedans 

 de celte dernière, on peut abaisser sur la parabole une , deux ou 

 trois normales 



Si le point (^-,0) esl sur l'axe des y;, tant qu'on nk ^a,on ne peut 



