des normales dans les courbes du second degré. 29 



abaisser qu'une normale: elle aboutit au sommet de la parabole. 

 Pour k'^a , on a trois normales; l'une d'elles aboutit au sommet de 

 la parabole ; les deux autres sont symétriques par rapport à l'axe 

 des X. 



Toutes ces considérations sont très faciles à démontrer : aussi 

 nous ne nous y arrêterons pas. 



Voyez, pour ce qui regarde le rapprochement de ces propriétés 

 avec les propriétés correspondantes de l'ellipse , l'énoncé qui en a 

 été donné, n° 2. 



23. Voyons encore ce qui en arrive lorsque, d'un point pris 

 sur la parabole , il s'agit d'abaisser une normale sur la courbe elle- 

 même. 



On aura, comme dans le n° 14, les équations suivantes, à 

 combiner : 



l'=^ak,xy — (Je — a)y=-=al. 



En éliminant k , on trouve 



(2ax-l')y-\-2aiy-l)=o. 



Or 2ax=y' : donc l'équation précédente devient 

 (y^+ly+2a%y-l)^o. 



Si y = l, on a x=k, y=^l. Dans ce cas, au point (A,/) de la para- 

 bole , on peut élever une normale à cette courbe. L'extrémité 

 de la corde normale est ici déterminée par l'ordonnée /, dans 

 l'équation 



i/' + /2/+2a'=o. 



Mais si l'on n'a pas y=l, l'équation plus haut du second degré en 

 y, donne les ordonnées des pieds des normales qu'on peut, d'un point 

 de la parabole, abaisser sur elle-même. Examinons les racines dey. 

 D'abord elles peuvent être égales, lorsqu'on aura ?'=8a'. Si on 

 cherche le point où la droite ?=2aK2 coupela parabole, on trouve 

 4o pour abscisse correspondante. Or les coordonnées k=ia, l=±. 

 '2al/2 'satisfont à l'équation de la développée. Donc , les racines 

 ci-dessus de y , ne peuvent être égales que lorsque {k,l) se trouve 

 à la fois sur l'intersection de la parabole avec sa développée : et 

 c'est ce que nous aurions dû apercevoir , dans le u" 22, par 

 l'équation 



Afi—ay=21a'k 

 a laquelle on peut salisRiire en posant k=ia. Il résulte de tout ceci 

 que des deux points où la développée coupe la parabole, on ne peut 



