30 J. .Mauty.nowski. — De la construclion 



abaisser , daus le vrui seus du mot, qu'une normale; maison peut 

 encore on élever une. La première de ces normales doit être consi- 

 dérée comme double, c'est-à-dire résultant de ce que deux, se con- 

 fondent en une seule ; la seconde est distincte. Donc, on retrouve 

 ainsi le nombre des trois normales , auquel l'équation du .3° degré 

 en y , n° 2l , donne lieu. 



Examinons maintenant le cas des deux racines quelconques de 

 l'équation ci-dessus en )/. Elles sont imaginaires pour l'-<^8a' et 

 réelles pour Z'^8a\ Le premier de ces deux cas a lieu pour les 

 points de la parabole en debors de la développée; le second pour 

 les points de la première comprise par la dernière des deux courbes. 

 Si l'on y tient compte de ce qu'en chaque point de la parabole on- 

 peut élever une normale , le nombre des trois normales , auquel 

 donne lieu l'équation en y du n° 21 , se retrouve toujours. 



24. En procédant comme dans le n" (IG) on trouvera que g'i/=« 

 (p+a) est la tangente au point (x,y) delà parabole y'=:2ax, p ctq 

 étant les coordonnées courantes de la tangente. Si au contraire /) et 

 q sont données et x èly variables, l'équation qy=a{p-\-j:) représente 

 la sécante qui joint les points de contact des deux tangentes , qu'on 

 peut mener d'un point {p,q] h la parabole. 



Cola posé, cherchons la sécante qui coupe la parabole y'=2ax 

 et rhjperbole a;i/ — {/c — a)y=al aux mêmes points. En éliminant a; 

 et y entre la sérante et les deux courbes il vient 



ax^ + 2{ap—q')x + o|)'=o 

 x''—{k— a—p)x—p{/i~a]— ql=o 

 y'—2qy+2ap=o 

 qy'—a[k — a)ij—a''l=o. 



Comme les équations en x el y sont identiques, on peut égaler la 



dinii-soiiimc cl le [;roiluit des racines correspondantes , et l'on aura 



j' — ap 



x,= —=k — a — p , 



a 



a[k — o) 

 y,=q=—^, 



p'=—p{k-a)-ql, 



al 



î 



-T, et «/, liant la dcmi-scmnie des racines en x cl i/. En multipliant 

 la première de ces équations par u et la seconde par q, [luis sous- 



2p- 



