des normales dans les courues du second degré. 31 



trayant , on retrouve l'équation de la sécante. Donc , ou peut se ser- 

 vir des deux autres pour déterminer p et q en fonctionde k et /. On ■ 



a ainsi 



2pq^= — al, 

 2p^+2{k—a)p'—al'=o. 

 Cette dernière donne trois valeurs pour p et la précédenle trois 

 valeurs correspondantes pour q. Lorsque d'un point {k,l) ou peut 

 abaisser trois normales sur la parabole, il y a trois points {p,q) où les 

 tangentes passant parles pieds des normales se coupent deux à deux. 

 Lorsqu'on ne peut abaisser que deux normales , p el q auront 

 trois racines réelles, dont deux égales. Enfin s'il n'y a qu'une nor- 

 male possible ,pelq n'auront qu'une racine réelle. 



25. En coupant la parabole y'=2ax par la sécante y^nx+h, on 

 trouve pour les abscisses des points d'intersection 

 ji"x=+2[nA— a)x4-A"=o. 

 En résolvant celte équation par rapport à a; , on a 



n'x=a — nh±\.'^ a{a—2nh) 

 D'où l'on voit que x peut avoir deux racines égales , lorsque 

 a = 2nh. C'est la condition entre n et h pour que la droite j/=bj;-|- A 

 soit tangente à la parabole. 



Supposons qu'un point [p,q) se trouve sur la tangente, on aura 

 a=2nh eiq = np+h. 



En éliminant h , il vient 



a=2n{q—np) , 



ou bien 



2p • n • — 2qn-\-a=o. 

 Soient n' et n" les deux racines de cette équation ; on aura 



2p{n>—n")=2\/ q'-2ap , n'a"=+— 



Soit s la tangente trigonométrique de l'angle compris par les 

 deux tangentes. Comme on a 



_ n'-n" . 



''~ l+n'n'''' 



en substituant n'—n" et n'n" les valeurs précédentes, on trouvera 



2yq^—2ap 



S = r • 



2p-j-a 

 Celte équation entre p cl j donne la courbe des intersections des 



