des normales dans les courbes du second degré. 9 



des deux normales consécutives. Par conséquent les coordonnées de 

 ce centre sont données par k et l , formules (9) et (10). Le centre 

 ainsi déterminé est appelé centre de courbure et l-i distance iiorrailc 

 de ce centre, rnyon di courbure. Ainsi, la développée drt l'ellipse 

 est le lieu géométrique de tous les centres de courbure. En tirant 

 des formules (9) et (10) les valeurs de k et /, on peut aisément en dé- 

 duire celles de a; — /,■ et de y—l, c'est-à-dire les valeurs des projec- 

 tions du rayon de courbure sur l'axe des x et dos ij. Par conséquent 



si on désigne par p le rayon de courbure et si on se rappelle que jf- st 



la direction du rayon de courbure , on aura 



.•=(-')'l '+^)' 



En substituant, dans cette expression, pour k sa valeur donnée 

 par la formule (9) et pourt/ sa valeur tirée de l'équation de l'ellipse, 

 on trouve 



(a'*— c»x')^ 



P =- 



a"b' 



(14). 



Corollaire. Puisque tous les cercles tangents à l'ellipse ont la tan- 

 gente commune avec cette dernière courbe : il s'ensuit que tous ces 

 cercles ont deux points consécutifs communs avec l'ellipse. Mais 

 il faut observer que le cercle osculateur (cercle de courbure) est 

 le seul qui ait trois points consécutifs communs avec l'ellipse. La 

 raison en est qu'il faut trois points non en ligne droite pour déter- 

 miner un cercle. 



Remarque. Le rapprochement que le lecteur pourra faire entre 

 la méthode, avec laquelle je viens d'exposer les propriétés de la déve- 

 loppée de l'ellipse et la méthode communément enseignée, dans les 

 traités du calcul différentiel , ne fera que mieux ressortir l'utilité 

 d'envisager une seule et même chose sous plusieurs points de vue 

 difTérents. 



10. Nous avons vu que les pieds d'une au plusieurs normales, 

 qu'on peut abaisser d'un point {k,l) sur l'ellipse a-»/'-|-6=x"=a'i' , se 

 trouvent sur l'intersection de cette courbe avec l'hyperbole c'a:)/ = 

 a'ky — b^lx. Voici les propriétés de cette hyperbole en ayant égard à 

 sa position par rapport à l'ellipse. 



1". Puisque x=o, y = o, ainsi que x=k,y — l satisfont à la fois à 

 l'équation c'x)/ = o»A»/=?<'?x : il s'ensuit que le centre de l'ellipse cl 

 le point [k,l) sont deux points de cette hyperbole. 



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