8 J. Martv.vowski. — De la construction 



(l_wi)'>(l-; m-Y 



En rendant le second membre plus grand , par la substitution de 

 ■m''<im' à la place de m", l'inégalité subsiste encore : parce qu'on a 

 (I — m)'X' — "*)' o" bien 1>1 — m. Donc, à plus forte raison 

 ^1 — jn)'>(l — '^m'f et par conséquent (c' — a/i:)>(i^c^— jJ'o'/j')' 

 ou bien hV'^hl. 



La développée de l'ellipse étant entièrement comprise dans le 

 losange de ses sommets il s'ensuit, à cause de sa symétrie, qu'elle 

 est composée de quatre branches identiques tournant leur convexité, 

 vers le centre et vers les axes. Les sommets de la développée do 

 l'ellipse sont des points de rebroussement de première espèce. Los 

 axes de la développée sont tangents aux branches qui se réunissent, ' 

 deux à deux , aux sommets ou aux points de rebroussement. 



7" Puisque la développée de l'ellipse résulte des intersections des 

 normales consécutives à l'ellipse il s'ensuit que la normale à 1 ellipse 

 est tangente à la développée et réciproquement. Abaisser dun point 

 [k,l) une normale à l'ellipse c'est mener la tangente à la développée 

 et réciproquement. 



8° On peut faire disparaître les radicaux de l'équation (11). En 

 effet si on élève les deux membres de celte équation au cube on a 



Or, la partie comprise entre les ( ) peut être, d'après l'équa- 

 tion (11), remplacée par ^c' de sorte qu'il ne restera qu'un seul 

 radical cubique qu'on peut isoler et l'on aura 



En élevant les deux membres de cette dernière équation au cub« 

 on aurait l'équation de de la développée de l'ellipse dépourvue des 

 radicaux. Cela posé on voit que la développée de l'ellipse est une 

 courbe du sixième degré dans l'équation de laquelle n'entrent que 

 des puissances paires des variables. 



Il en est de même de la développée équilatère , ci-dessus 5 ". 



8° Si en un point de l'ellipse a'j/' + 6'a;'=a4' on trace la tangente 

 et la normale, et si de tous les points de cette dernière , comme cen- 

 tres, avec des dislances normales respectives , comme rajons, on dé- 

 crit divers cercles : tous ces cercles auront la tangente commuiie 

 avec l'ellipse. Mais parmi ces cercles les uns seront en dedans les 

 autres en dehors de l'ellipse ; dp sorte que, parmi tous ces cercles , il 

 y a nécessairement un dont la courbure approche le plus de celle de 

 l'ellipse. Le centre d'un tel cercle seraévidommciil sur l'iiitirscclion 



