des normales dans les courbes du second degré. 7 



comme au n° 7. Soieni {u,o) , (o, — v] deux points pris sur l'axe des 

 X et des y et supposons qu'on ait î*-+w' = (a— i)'=r'. Par les points 

 (u,o) , (o , — v) menons la droite : on aura pour l'équatioa de cette 

 droite uy=vx — uv. Au point consécutif m et v deviendront u-^-du , 

 v-\-dv : c'est ce qui revient à différentier les équations u"-\-v"- = r- 

 et uv=vx — uy par rapport à m et u. On aura ainsi 



udu-hvdu— o a ou — ; — = ' 



dv u 



el 



(y+î/^— 7— =x — M OU bien (w -(-?/) o=— m (x — u). 

 Dans cette dernière équation on peut mettre pour x — u sa va- 

 leur — ^tirée de l'équation uy=vx —uv el l'on aura {v-\-y)v"=u^y. 



Dans celle dernière on peut remplacer u' par sa valeur r' — v" 

 tirée de l'équation it--)-w'=r= et l'on aura v^=—r'y. En procédant 

 de la même manière on trouvera u'^r'x ; de sorte qu'en tirant les 

 valeurs de v et de !« trouvées tantôt et en les substituant dans 

 l'équation u'-{-v-=r' , on aura 



py^-t}/x' = ^r' = p'{a~by ... (12). 



pour équation de l'enveloppe qui nous occupe. On peut à cette der- 

 nière enveloppe donner le nom delà développée équilalère, par ana- 

 logie à la développée proprement dite de l'ellipse. 



6° On peut se rendre compte de la forme, qu'affecte la développée 

 de l'ellipse , en démontrant que le losange de ses sommets la com- 

 prend toute entière 



Par les points I ,o\ et I O'-r- ) fesons passer la droite 



dont l'équation sera par conséquent bl'= — ak-\-c''. On tire de là 

 i'/''=^(c'— a/i)' et l'équation (11) fournit 5'/' = (j^e<— p/a'/t'). 

 Cela posé nous allons démontrer que, pour la même abscisse k , b~l''' 

 est toujours plus grand que è=^ , savoir 



{c—at)y>{^c''—iya'ty. 

 Comme la plus grande valeur de k est donnée par l'équation ak= 



c^ 

 C on peut, pour toutes les valeurs de k, comprises entre el — , 



poser ak=mc^,m étant une fraction comprise entre et l . L'inég.t- 

 lité précédente devient par là 



