6 J. MAnTYNOWSKl. — De la construction 



cy^ = —b'il. ... (10) 



En substituant, dans l'équation de l'eliipsc , los valeurs de x et 

 de y , qu'on vient de trouver , on aura 



^a'/c'+^bH'=—c\yc ... (11). 



Telle est l'équation de l'enveloppe cherchée. 



y. Propriétés de la développée de l'ellipse. 



l" La développée a le même centre que l'ellipse : car l'équalioii 

 (11) est satisfaite à la fois par [/c,l) et {—k, — 0- 



3" La développée est symétrique par rapport aux ascs de r4'llipse. 

 En effet l'équation (11) pour chaque valeur de le offre deux valeurs 

 égales et de signe contraire à l; et réciproquement. 



2" La développée de l'ellipse a toujours ses axes inégaux. En effet • 

 S), dans l'équalion (11), on pose successivement l=o, k = oel on re- 

 présente les valeurs correspondantes des variables par k' et/', 

 on aura 



Si l'on avait/i;'=r on aurait a^b et par suite c=o. Dans le ccn lo 

 toutes les normales se coupent au centre et la développée du cercle 

 est ce centre même. 



4" Deux des quatre sommets de la développée sont toujours en 

 dedans du grand axe de l'ellipse; les deux autres sont en dedans , 

 aux extrémités ou en dehors des extrémités du plus petit des axes de 

 l'ellipse. C'est ce qui résulte des expressions, précédemment trou- 

 vées de k' et de l'. La première donne a:c=^c:k'. Or a')>c: donc 

 c^k' et , à plus forte raison , o>-/c'. D'où il résulte que deux des 

 quatre sommets de la développée sont toujours en dedans des foyers 

 de l'ellipse. En décomposant l'expression en l' on trouve b:c=c:l'. 

 Si i^c : on a r^Z' et par conséquent b'^V. Si 6 = c : on a c=l' et 

 par conséquent A=c=?'. Enfin si è<c: on a c<Z' et par conséquent 

 i<i'. D'où il résulte que , daus les ellipses ayant b^c, la dévelop- 

 pée a deux de ses quatre sommets aux extrémités du plus petit des 



deux axes de l'ellipse ; et, selon b^c ou bien a-'^2b' , ces sommets 



sont en dehors ou en dedans de l'ellipse. 



5° Les axes de la développée étant inégaux on ne peut pas consi- 

 dérer celle courbe comme l'enveloppe des intersections consécutives 

 d'une droite fixe dont les extrémités seraient assujéties à s'appuyer 

 sur les axes. C'est précisément l'enveloppe formée par le segment 

 a — b de la sécante génératrice de l'ellipse a'y'-i'b'x^=a'b' , n" 7. 

 On peut trouver l'équiiliun de toile dernière enveloppe en procédant 



