des normales dans les courbes du second degré. 3 



siste, ce me semble, toute la difficulté : car partout, comme on le 

 verra dans la suite, on est aux prises avec des équations complètes 

 du quatrième degré, qu'on ne peut résoudre ni par extraction de 

 racine carrée ni par tout autre procédé connu à moins qu'on n'ait 

 recours à la réduite de cette équalion. 



3. Le problème d'élever la normale à une courbe est très simple. 

 On donne une courbe par son équation 



<p{x,y)=0 ... (1) 



et Ton désigne un point (x, y) de cette courbe. La direction de la 



dy 

 tangente au point (a;,2/) de la courbe est donnée par — de l'équa- 

 tion. On a ainsi 



dx dy dx 



, dy 

 En renversant et en prenant en signe contraire la valeur de -7— 



on a la direction de la normale. Cela posé, si l'on désigne par p 

 et 5^ , k et l les coordonnées courantes de la tangente et de la nor- 

 male , on aura 



pour les équations de ces deux droites. Le point (r,!/) étant donnée 

 on construit aisément la tangente et la normale en posant q=0 , 

 1= et en cherchant les valeurs correspondantes de p et de k : c'est 

 ce qui donne les distances de l'origine aux points où ces deux droites 

 coupent l'axe des x. 



, 4. Le problème d'abaisser d'un point (k,l) la normale sur une 

 courbe est plus diflBcile que le précédent. 



En effet, si , dans l'équation (4), on suppose que k cl l soient 

 donnéis : x et y étant indéterminées on a une courbe dont l'inter- 

 seclion avec la proposée détermine les pieds d'une ou de plusieurs 

 normales cberchécs . 



De la construction des normahs dans l'ellipse. 



5. Supposons que la courbe proposée soit une ellipse, dont 2a et 

 2fc sont le grand et le petit axe et 2c l'excentricité : l'équation de 

 telle courbe cl la relation qui lie a , 6 et c seront : 



