50 J. N. Noël. — Théuri-mcs cl Problèmes numéritiues. 



Remarques. Les produits de 481 par les neuf premiers multiples 

 de 231 jouissent de propriétés analogues, aus-ii bien ([ue les pro- 

 duits de 'l'jQO'^ par les neuf premiers multiples de 37. Toutes ces 

 propriétés résultent de ce que 111111 a pour facteurs ■premiers : 

 37, 3,7, 11 et 13; d'où 10101x11 = 111111. 



Ces propriétés sont connues depuis longtemps , mais n'ont pas 

 encore été énoncées , sous forme de théorèmes, a démontrer, dans 

 les traités d'arithmétique, ovi cependant ces théorèmes devraient 

 figurer , comme de curieux exercices , aussi bien que les théorèmes 

 analogues , qui proviennent de la décomposition delllllllll en 

 facteurs premiers oadclllUlllllll. 



TfiÉOKÉIUE V. 



Si l'on multiplie 143 par les neuf premiers multiples de 7 ; les 

 d.'ux chiffres extrêmes de chaque produit sont seuls signiGoatifs et 

 égaux au chiffre du multiplicateur de 7, pour former le multiple 

 proposé. Cela vient de ce que 143x'7=1001 ; etc. 



Théorème VI. 



Si l'on multiplie 143 par chacun des multiples de 7, depuis 1 fois 

 jusqu'à 142 fois 7; chaque produit aura, pour ses deux extrémités, 

 le nombre multiplicateur de 7. Ainsi , par exemple, 143X994= 

 142142. Cela vient toujours de ce que 143x7=1001 ; etc. 



Remarque. Il existe des propriétés analogues pour 91 X 1 1 = 1001 

 et pour 77x13=1001. 



Théokkme VII. 



La différence de deux nombres composés des mêmes tranches 

 de deux chiffres (en allant de droite à gauche , la première à gau- 

 che pouvant n'avoir qu'un seul chiffre) est toujours divisible par 

 99. C'est ce qu'on démontre aisément. 



TnÉORÉME VIII. 



Si l'on supprime , h volonté , une tranche de deux chiffres 

 dans la différence de deux nombres inégaux , mais composés 

 dos mêmes tranches de deux chiffres , et si l'on donne la somme 

 des tranches restantes , ou bien la somme des tranches do la pre- 

 mière somme, si celle-ci a plus de deux chiffres; la différence 

 entre 99 et la seconde somme est précisément la tranche suppri- 

 mée, si cette dernière n'est pas 00 ou pas 99. De sorte qu'on peut 

 ouijours deviner ainsi quelle est la tranche supprimée. 



