J. N. Noël. — Théorèmes el Problèmes numériques. 57 

 Remarques. Il existe des théorèmes analogues pour la différence 

 de deux nombres inégaux , mais composés , soit des mêmes chiffres , 

 soit des mêmes tranches de chacune trois chiffres, en allant de 

 droite ^à gauche; la première à gauche pouvant n'avoir que deux 

 chiffres ou un seul. Tous ces théorèmes reposent sur les différents 

 caractères de divisibilité par 3 , 9 , 11, 7 et 13 ; lesquels sont eux- 

 mêmes des théorèmes numériques importants. 



Problème I. 



On a deux coupons M et N d'une même étoffe et par consé- 

 quent de même largeur; on connaît le prix du plus petit N : com- 

 ment calculer le prix du plus grand M? 



Première solulion. C'est évidemment en cherchant le rapport de 

 31 à N ; or, pour cela , il faut d'abord diviser M par N, N par le 

 premier reste P, P par le second reste Q, celui-ci par le troisième 

 R, et ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à un reste ou nul ou si petit 

 qu'on ne puissi: plus diviser par lui. Avec quelques précautions, ou 

 obtient des quotients exacts en portant N sur M , P sur N , Q sur 

 P, elc. On aura ainsi la seconde ligne du premier tableau ci- 

 dessous : 



M=6N-hP, N=8P-fQ, 



P = 3Q+B, Q=4R-1-S,R=2S. 



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Q=(2.4+1)S=9S. 

 p=(9.3+2)S=29S, 

 N=(29.8-1-9)S=24IS, 

 M=(241 .6+29)S=1475S. 



Le second de ces tableaux résulte de ce que chaque dividende 

 est le produit du diviseur par le quotient entier , plus le reste de la 

 division; et quant au troisième tableau, on le forme en substituant 

 la valeur 2S de R dans celle de Q , ces deux dernières dans celle de 

 p, et ainsi en remontant jusqu'aux valeurs de N et M. 



On voit que le dernier reste S est diviseur commun de 31 et N. 

 Soitx le p. g. c. d. de 31 et N : puisque x divise 31, N et par con- 

 séquent 6N , X divise aussi la différence 31 — 6N ou P; par la môme 

 raison x divise P, puis Q, puis R , puis S; donc x ne saurait sur- 

 passer S, p. g. c. d. de R et S. D'ailleurs, S divisant 31 etN, ne 

 saurait surpasser x, p. g. c. d. de 3Iet N; ainsi il faut que S=x. 



