J. N. Noël. — Théorèmes et Problèmes numériques. 59 

 • Le second de ces tableaux se déJuit du premier : c'est l'expres- 

 sion de F en fi action continue ; et celle fraclion continue ne 

 dépend que des quotients 6,8,3,4,2, trouvés en cherchant la 

 p. g. m. c. de 31 et N- C'est pourquoi , pour plus de simplicité, on 

 écrit F=6,S,3,4,2;etsi l'on termine celte fraction continue au 

 premier terme 6, au second 8 , au troisième 3 , etc. , il en résulte 

 pour F des fractions ordinaires, appelées réduites et qu'il faut 

 d'abord calculer. 



Or, dans la première solution, les lignes successives du premier 

 tableau, à partir de la troisième, sont formées d'après la règle 

 très-simple qui a donné la dernière ligne , c'est-à-dire en regar- 

 dant successivement N,P, Q, R , S, comme le p. g. c. d. de M 

 et N; d'oîi il suit que les deux premiers termes de ces lignes, 

 sont le numérateur et le dénominateur des réduites cherchées , 

 et l'on a : 



Réduites successives- 



Fraction continue F = 6, 8, 3, 4, 2. 



6 49^ 153 661 1475 

 T' T"' '25' ÏÔ8' "247' 



Ces réduites sont nécessairement irréductibles ; et on les cal- 

 cule, le plus simplement possible, d'après la règle que voici : une 

 réduite se trouve en multipliant , par le quotient auquel elle 

 répond , les deux termes de la réduite immédiatement précédente , et 

 en ajoutant aux deux produits respectifs les deux termes de la 

 réduite qui précède de deux rangs- 



D'après la fraction continue proposée , il est évident que la valeur 

 de F est plus grande que la première réduite, plus petite que la 

 seconde , plus grande que la troisième, plus petite que la quatrième 

 et plus grande que la cinquième ; c'est-à-dire que F est toujours 

 comprise entre deux réduites consécutives : elle diffère donc moins 

 de l'une de ces deux réduites , que celles-ci ne diffèrent l'une de 



l'autre. Or, la différence de à ^; — est l sur 108-25; donc 



108 25 



153 153 



F^-— - + .^1 sur 108-25, et à plus forte raison ,F=--— -f <l 



sur (25)'. Réduisant en décimales on voit que la valeur de F ne 

 surpasse pas 6,12 de 0,002. De même, la valeur de F n'est pas 

 surpassée par la quatrième réduite 6G1 sur 108 on 6,12037, de 1 

 sur (108)' ou de 0,0001 ; de sorte que F=6,1203, à moins de 

 0,0001 près. 



