CO J. N. Noël. — Théorèmes et Proùlcmcs numériques. 



Si donc N coule 60 francs , M coûtera C0Xfi,1203 ou 307 fr. 

 22 : l'erreur d'csI pas fl'un centime de trop. 



Troisième solution. Les deux solutions précédentes ne sortent 

 pas des éléments d'arithmétique , où il est tout aussi naturel de 

 représenter les choses ou les nombres par des lettres , afin de 

 faciliter les déduclions logiques du calcul , qu'il est naturel, à cet 

 cfTel , de représenter les nombres par des chiffres. La première 

 solution développe et établit complètement la théorie daphis grand 

 commun diviseur; tandis qu'il y a peu à ajouter à la seconde solu- 

 tion , pour avoir la théorie complète des fractions continues. Mais 

 ces deux solutions supposent qu'on n'ait pas sous la main , le mètre 

 subdivisé en millimètres ; ce qui peut arriver. 



La troisième solution , celle ordinairement employée , consiste à 

 mesurer d'abord , avec le mètre , subdivisé en millimètres , les lon- 

 gueurs de M et de N ; puis a déduire, par le calcul, le pris de 

 M de celui de N et des deux nombres décimaux résultants. On 

 obtient ainsi une approximation , sufTisante sans doute , mais dont 

 on ne connaît pas bien le degré certain d'exactitude. 



Théokème IX. 



Lorsque le dénominateur d est un nombre premier, on dé- 

 montre aisément que la réduction de la fraction n sur d en 

 décimales, 1° si elle donne un reste égal à d — n, après avoir 

 calculé V chiffres, 10'-|-1 est divisible par d, et réciproque- 

 ment; 2° la division de Ji'10"'par d donne le reste égal à n et 

 par conséquent la première période p, ayant par suite 2v chiffres; 

 3° enfin, si 5' désigne le premier quotient, on aura p^g.lO"-)- 

 (10" — 1) — g; de sorte que comme (10" — 1) est un nombre de v 

 chiffres 9, les v derniers chiffres de la période p se trouvent men- 

 talement , on écrivant à la droite de q les compléments à 9 des 

 chifl'rts successifs , déjà calculés. 



Pbobléme il 



Quelles sont les fractions ordinaires où l'on peut abréger de 

 moitié le calcul de la première période décimale? 



Ce sont les fractions dont les dénominateurs, nombres premiers 

 d, divisent lO' + l. Or, pour «=1,2,3,4 et 8, on a d=\l, 101,7 

 ou 13, lOOOI et 17. Il eu est de même des fractions 1 sur 19 et I 

 sur 71, dont les périodes ont 18 et 70 chiffres. On peut abréger 

 davantage encore; car pour 1 sur 19, par exemple, après avoir 



