J. N. Noël. — Théorèmes et Problèmes numériques. 61 

 calculé 05263 , il resle 3 ou 3 fois i sur 19. Mullipliant par 3 le 

 quotient trouvé , on aura 15789, à écrire à la suite de ce quo- 

 tient , avec le reste 9 ou 9 fois 1 sur 19. Il est doue facile mainte- 

 nant d'écrire la période. 



Remarque. On observe que le nombre de chiffres de la période , 

 lorsque le dénominateur rf est un nombre premier, est toujours ou 

 d — 1 ou un sous-multiple de d — 1. Cela arrive même lorsque la 

 fraction ne jouit pas des propriétés précédentes ; car pour rf^37, 

 la période a trois chiffres, et 3 est diviseur de 37 — 1 ou de 36. 



Peobléme III. 



Deux mobiles M et N, ayant chacun un mouvement uni- 

 forme, suivent la même droite et vont dans le même sens : 

 ils ont entre eus un intervalle de d mètres et partent au même 

 instant; M parcourt des chemins partiels devenant de 3 en 3 

 fois plus petits , le premier étant a et parcouru en une heure ; 

 tandis que N fait des chemins partiels devenant de 5 en 5 fois 

 moindres , le premier étant b et aussi fait en une heure. On 

 demande , 1° quels temps x et y il faudra à M et à N , pour devoir 

 s'arrêter, en vertu des deux conditions ci-dessus; les derniers 

 chemins çaT\]e\s éiaïii infiniment pelits? 2° quel doit être le pre- 

 mier chemin partiel b , a étant donné , pour que M et N s'arrêtent 

 au môme point ou soient encore séparés de c mètres entre eus ? 



Remarque. Pour résoudre ce problème , il suffit d'observer que 

 la suite illimitée de fractions , de même numérateur n et dont les 

 dénominateurs deviennent de c en c fois plus grands , le premier 

 étant le nombre entier c , a pour somme n sur (c — 1). 



J'appelle série périodique simple, cette suite illimitée de fractions ; 

 et série périodique composée, la suite illimitée de fractions, dont 

 les dénominateurs deviennent de c en c fois plus grands , le premier 

 étant le nombre entier c>l, et dont plusieurs numérateurs se 

 présentent sans cesse dans le même ordre : l'ensemble des frac- 

 lions , positives ou négatives, ayant ces numérateurs, est une 

 période de la série périodique composée. Sommant les fractions 

 de chaque période , on aura une série périodique simple. 



TnÉOEÈME X. 



Si l'on convertit la fraction irréductible n sur d en une 

 suite d'autres dont les dénominateurs deviennent de c en c 

 fois plus grands, le premier étant le nombre entière: 1° la série 



