f)2 J. N. Noël. — Théorèmes et Problèmes numériques. 

 périodique résultante se termine ou ne se termine pas, suivant 

 que c n'a pas ou a d'autres fadeurs premiers que d ; 2° si n sur 

 desl <[l et que csoil premier avec d, la série périodique illimitée, 

 simple ou composée , commence par la première fraction de la 

 période (facile à démontrer, chaque fois). 



Remarque. Il sérail intéressant de savoir, dans le second cas, 

 quand la série périodique doit être simple et quand clic doit être 

 composée. Les séries périodiques jouissent d'ailleurs de propriétés 

 analogues à celles des fractions périodiques décimales , comme 

 on sait. 



TnÉORÈME XI. 



Soit n, le nombre composé de n chiffres 1 , en sorte , par 

 exemple, qu'on ait 3, =11 l=i (10' — 1). Si S», désigne la somme 

 des nombres composés de 1,2,3, i, ...n chiffres l,on aura toujours 



Sn.=il(10"_l)-l-«. 



TaÉOKÈME XII. 



Soit X la somme des neuf séries de nombres telles, que les 

 termes successifs de l'une d'elles soient l'un des chiffres significatifs 

 écrit 1,2,3,4, ... , n fois : on aura toujours 



Problème IV. 



Résoudre les systèmes d'équations ,o\xv,x,y,z sont les incon- 

 nues , savoir : 



au-\-x-\'hti-]-cz=m'', 



n'^v -irZa'' x-\-b'^y -\-c^ z=^m,^ . 



c—p 



