J. N. Noël. — Théorèmes et Problèmes numériques. 63 

 Remarque. Dans tous les systèmes semblables aux deux précé- 

 dents , non-seulement on peut abréger l'élimination des inconnues ; 

 mais on peut rendre logarithmiques les expressions résultantes. 



Problème Y. 



Les côtés latéraux d'un triangle éqnilatéral ABC sont divisés 

 chacun en n parties égales au mètre , par des parallèles à la 

 base BC. Deux ^mobiles M et N , ayant un mouvement uniforme 

 chacun , parlent en même temps du point A , et le second N , qui 

 fait 3 mètre de chemin pendant que le premier en fait 2 , parcourt 

 successivement le premier mètre de AC et la première parallèle , 

 le second méire de AB et et la seconde parallèle , le troisième mètre 

 de AC et la troisième parallèle, et ainsi juqu'à ce qu'il ail parcouru 

 la base BC. Comme le premier mobile M doit parcourir successive- 

 ment les mètres de AB , de rangs impairs , les mètres de AC , de 

 rangs pairs , et les parallèles successives , ainsi que BC ; on de- 

 mande , 1° quel est le chemin total fait par N ? 2° quel est Je che- 

 min total de M et quelle est sa position à l'instant où N finit de 

 parcourir BC ? 



1° Il est aisé de voir que le chemin total de N est 



?j+ jn(n-}-l) ou in(«+3). 

 2° Soit X le nombre des chemins partiels successifs, parcourus 

 par M , à l'instant oîi N finit de parcourir B : le chemin total de 

 M , à cette époque, est donc ia'(x-t-3) ; et comme ce chemin est 

 les 2 tiers de celui de N , on doit avoir 



a;'+3x=|K(n+3); 

 d'où a:=— I +^/Cf ft=-4-2«+ | ). 



Ici X doit être un nombre entier positif; il faut donc ajouter un 

 certain nombre 2/ à ce qui est sous le radical, pour que le nombre 

 résultant soit un carré parfait ; or , ^ est donné par le resle négatif 

 de l'extraction de la racine carrée, où l'on a mis 1 de plus. 

 Supposons n^2I ; nous aurons 2/=4 et a:=17. Dans ce cas donc , 

 1° N a fait 252 mètres et se trouve à l'extrémité B ; 2° M a fait le 

 chemin total 168 mètres et se trouve sur la 17'"° parallèle , à 2 

 mètres du côté AC. 



Remarque. On peut résoudre le problème lorsque le triangle 

 ABC est rectangle en B et que les parallèles à BC divisent AB en n 

 parties égales à 3 mètres et AC , en n parties ég:ilcs à 5 luclrcs. 



