Oi J. N. jS'okl. — Théorèmes tC /'rohlèmcs numrriqui-s- 



PnOBLEME VI. 



Les côtés laléraux du triangle équilatéral ABC , sur le terrain , 

 sont divisés chacun en n parties égales au mètre , par des paral- 

 lèles k la base BC : toutes les parallèles sont accessibles , aussi bien 

 que les parties égales au mètre, de rangs impairs sur AB , h partir 

 de A , et de rangs pairs sur AC ; les autres parties étant inaccessi- 

 bles. Au point A et à chacun des n — 1 points de division de AB , 

 est placé un objet ; un ouvrier M doit réunir ces n objets vers le 

 point B , en marchant sur les parallèles et sur les parties accessibles 

 de AB et AC , en allant les prendre un à un , à partir du premier 

 en A. Comme après le transport du dernier objet, M est revenu au 

 point B, on demande quel est le chemin total parcouru? 



Les chemins partiels sont : nin+S) — 1, {n — l)(n+4) — 1, 

 (K— 2)(M+5)— 1 , ..., (»— w+l)[w + 3-{-(«— 1)] — I. La somme 

 de tous ces chemins est donc 



n'— «[l-l-2+3_|-...+^„_l)]-|-n[3-J-4+5-l-...+(3+w-l)] 



—[1 •4+2-54-3.6+. . + [n—i){n-\-2)]—n. 



Sommant toutes les séries numériques, on verra que le chemin 

 total demandé se réduit à ^>i(2»'-}-9m-h4) — 2. 



Pkoblèmë vil 



Les côté du triangle équilatéral ABC sont divisés chacun en n 

 parties égales au mètre , par deux systèmes de parallèles aux côtés 

 AB et BC , tracés sur le terrain. Un boulet est placé à chacun des 

 sommets et k chacun des points d'intersection des parallèles avec 

 les côtés et entre elles; or, un ouvrier M, partant du point B et 

 marchant sur les côtés AB , BC et sur leurs parallèles , doit réunir 

 tous ces boulets et les empiler vers B , en les allant prendre un à 

 un : quel chemin total x devra-t-il (aira pour cela? Réponse: 

 a;r:fw(w+l)(»i+2) mètres. 



Remarque. Si les boulets sont de même calibre , on peut calculer 

 le nombre de boulets qu'il faut placer à chaque côté de la base de 

 la pile triangulaire vers B, complète ou tronquée. 



PUOBLÉME VIIL 



Les côtés d'un triangle équilatéral ABC étant divisés chacun en 

 n parties égales au mètre, par deux systèmes de paroiirics aux deux 



