J. N. Noël. — Théorèmes et Problèmes numériques, 67 

 rst le périmèlre et 2t. — J/3 , l'aire a ; de sorte qu'on a ainsi 

 ;w(w — 1) rosaces égales entre elles. Or, si le triangle ABC toarne 

 autour d'un axe , parallèle h AC et mené par le sommet B : 1° la 

 somme des surfaces , décrites par les contours des rosaces , a 

 pour mesure 



f n(n— lX2n— IV' i/3 ; 

 2° la somme des volumes engendrés par les aires a , a pour 

 expression 



!rw(n—l)(2«— 1)1/3. 



Remarques. La recherche des deux formules demande un peu 

 d'attention pour sommer les séries numériques en m. Ici le triangle 

 ABC est divisé en ^ n(M-j-l)(«+2) triangles équilaléraux , ayant 

 chacun 1 mètre de côté ; et l'on peut calculer , 1° la somme des 

 surfaces et la somme des volumes de révolution autour de BC , 

 engendrés respectivement par les contours et les aires des triangles 

 équilatéraux partiels ; 2° la somme des surfaces et celle des volu- 

 mes engendrés respectivement par les contours et les aires des 

 cercles inscrits; etc. 



Pboblème XIII. 



Les droites a et 5 étant numériques et données , comment cons- 

 truire le côté X du carré x', exprimé par la fraction dont le numé- 

 rateur et le dénominateur sont (a-t-6)^ — a'— 6^ et {a-\-by — a' — 6" ? 



Problème XIV. 



Les droites étant numériques , construire le rectangle et le 

 parallélipipède rectangle , exprimés respectivement par 



(a+i-t-c)' — (a+ô — c}' — ia-\-c — b)'-\-{6-\-c — a)' , 

 {a + b-\-cy—(,a+b+cy—{a-\-c—by'—[b-\-c—ay. 



Le parallélipipède est équivalent à celui ayant le rectangle 

 pour base ; quelle doit être la hauteur x de ce dernier parallélipi- 

 pède rectangle ? Comment construire le cube de base équivalente 

 au rectangle et quel est le rapport de ce cube au parallélipipède ? 



Problème XV. 



Soit V un nombre de deux cbiQres et n, le nombre formé en 

 écrivant v successivement n fois ; en sorte , par exemple , que 



