68 J. N. Noël. — Théorèmes el ProbUncs numériques. 

 3,,=ii(10'' — 1) : quelle est la somme en n des 90 séries dont 

 les n ièmes termes respectifs sont : «,„, w,, , n,, , ... , w^,? 



Problème XVI. 



Les carrés extérieurs, faits sur les côtés Sm, 4« et 3re du 

 triangle ABC , rectangle en A , n étant un nombre entier donné , 

 sont divisés chacun en n" carrés, ayant respectivement 5 , 4 el 3 

 mètres de chaque côté. Un objet est placé à chacun des somraels de 

 ces 3»- carrés partiels ; ce qui fait en tout 3)i(reJ-2) objets. Comme 

 un ouvrier doit les réunir près du sommet A , d'où il partira 

 d'abord , en les allant prendre un à un , et en marchant sur les 

 côtés des trois grands carrés et des carrés partiels ; on demande 

 quelle est l'expression en n du plus court chemin lolal qu'il devra 

 faire , à cet effet? 



Remarque. Même problème lorsque le triangle ABC , rectangle 

 en A , est isocèle ; 4« mètres étant alors la longueur de l'hypo- 

 ténuse BC. 



Problème XVII. 



Quel est le volume du parallélipipède rectangle, dont a ,b ,c 

 sont les dimensions numériques inconnues ? On sait que la seconde 

 Il est moyenne proportionnelle enire les autres; que 228 est la 

 mesure de la surface du parallélipipède , et enfin que 28,5 est le 

 quotient de (a4-è-l-e)'^(a+A) '— c' par [a-\-b-{-cY — [a+b]' — c-. 



Remarques Si le quotient 28,5 es t seul donné , avec la condition 

 b^=ac, on peut calculer les trois dimensions a,b ^c pour que le 

 volume du parallélipipède soit un maximum et sa surface, un 

 minimum. — Enfin , on peut calculer les trois dimensions a ,b ,c , 

 connaissant leur somme 19 , la surface 228 et le volume 216. 



Problème XVIil. 



Les carrés extérieurs, faits sur l'hypoténuse 4n mètres et sur les 

 côtés égaux à 2nj/2 du triangle rectangle isocèle ABC , étant 

 divisés chacun en n' carrés ég;!ux , n étant un nombre entier arbi- 

 traire ; on peut calculer l'aire et le contour de la rosace formée en 

 décrivant sur les côtés de chaque carré , comme diamètres , quatre 

 demi-circonférences intérieures. Cela posé , si la ligure tourne 

 autour du côté 4« , égal et opposée à l'hypoténuse BC; quelle 



