J. N. Noël. — Théorèmes et Problèmes numériques. fiO 

 seront les expressions en n de la somme des surfaces et de celle des 

 volumes engendrés respectivement par les contours et les aires des 

 rosaces proposées ? 



Problème XIX^ 



Les nombres respectifs de mètres , qui expriment les longueurs 

 de la base BC , des côtés latéraux et de la hauteur AD du triangle 

 isocèle ABC , sont 8« , 5re et 3ra , n étant un nombre entier donné. 

 Si par chacun des points de division de la hauteur AD , en n parties 

 égales h 3 mètres , on conçoit des parallèles à BC , divisant par 

 suite AB et AC en n parties égales à 5 mètres , elles divisent aussi 

 en parties égales à 5 mètres les parallèles à ces côtés, menées par 

 les points de division de AD. Or, un objet est placé à chacun des 

 points de division des trois systèmes de parallèles , entre elles 

 et avec les côtés latéraux , pour le premier système , et avec BC , 

 pour les deux autres : il y a de plus un objet à chacun des points 

 A,B,C,D el à chacun des points de division de AD. Déplus, 

 deux ouvriers BI et N , le premier faisant 4 mètres de chemin 

 pendant que le second en fait 2 , parlent ensemble du milieu D , 

 pour réunir tous les objets vers ce point, en les allant prendre 

 un à un et en ne marchant sur aucune des parallèles à BC. 

 Comme M doit transporter tous les objets distribués sur le trian- 

 gle ABD et sur ses côtés , landis que N ne doit transporter que 

 les objets restants ; on demande quelle est l'expression en n du 

 chemin total fait part M et quelle est la position de N à l'instant 

 où M place le dernier objet? 



Théorème XIV. 



Considérons le losange , ayant une diagonale égale au côté 2c 

 donné; soient construits, sur les côtés, quatre carrés extérieurs; 

 sur les côtés de chacun de ces carrés, comme diamètres , soient 

 décrites des circonférences égales : 



1° Les sommets extérieurs des carrés sont ceux d'un octogone 

 syméirique, concentrique au losange, et dont les mesures respec- 

 tives de l'aire et du contour sont 2c'(84-3j/3) et ic0-\-\/3). 



2° Les circonférences se coupent , quatre à quatre ; aux centres 

 des carrés et du losange, où elles forment cinq rosaces , inscrites 

 et concentriques ; et les mêmes circonférences se coupent , deux à 

 deux , au milieux de quatre côtés de l'octogone et aux sommets 



