298 J. N. Noël. — Exercices 



ou +x ce qu'il aurait fallu représenter par — x ; c'csl-à-dirc de ce que 

 l'on supposait P à gauche de 0, tandis qu'il aurait fallu le supposer 

 à droite. 



Si l'on change, en effet , x en — x dans les équations proposées et 

 dans v:=n — x, ce sera changer x en —x dans toutes les équations 

 qui s'en déduisent et par conséquent dans x= — a ; laquelle devient 

 — x= — a et «=a. Celte valeur a de a; n'est plus impossible ; et 

 comme alors elle répond h d=w — ( — x), c'est-à-dire à v^n-\-x, 

 on voit que toute distance négative —a , résout le problème que 

 donne le proposé quand, faisant abstraction du signe — , on mesure 

 la longueur a de a; en sens directement opposé. 



De là donc ce double principe des distances négatives : Si des lon- 

 gueurs sont mesurées sur une même droite et à partir du même point 

 fixe ; celles mesurées dans un sens étant positives , les longueurs me- 

 surées dans le sens directement opposé sont négatives ; et réciproque- 

 ment , les longueurs négatives doivent être portées en sens directement 

 contraire à celui des longueurs positives ; et cela chaque fois, lors 

 même que la droite tournerait autour du point fixe ; car pour toutes 

 les positions de AB autour de O , les deux relations w=n — x et 

 v=n-\-x ont toujours lieu. 



Il importe d'observer toutefois qu'une distance négative x= — a 

 peut ne pas changer de sens ; mais cela n'arrive que quand le signe 

 — provient du cbangcmeat de signes de quelques longueurs don- 

 nées ; et celles-ci alors , en vertu du double principe ci-dessus, doi- 

 vent être mesurées chacune en sens directement opposé. Or, pour 

 savoir quelles sont ces longueurs, il suffit de changer a; en — x, 

 dans les équations du problème, et d'interpréter les nouvelles 

 équations. 



II. Le double principe des dislances négatives sert de base à l'ap- 

 plication de l'algèbre à la géométrie , c'est-à-dire à la trigonométrie, 

 à la géométrie analytique et , en un mot , à la géométrie numérique, 

 dont il généralise et simplifie en même temps les différentes re- 

 cherches. 



Ce principe fondamental n'étail pas démontre complètement, ni 

 énoncé d'une manière aussi générale, lorsque Carnot , dans sa géo- 

 métrie de position , opposait à la théorie des symboles négatifs, les 

 difficultés de divers genres que l'on connait. C'est qu'alors on n'avait 

 pas encore la véritable notion de celte sorte de symboles ; et , pour 

 le double principe, on ne voyait pas que la droite AB peut tourner 

 autour du point 0, et ce point, origine des x, glisser sur cette 



