de Géométrie analytique. 301 



h-\-k='p±y {c''-^p^)=p±q ; d'où 

 /i-\-k^p-\.q=b et h+k=p — q=—d. 



Les valeurs q, b et </ peuvent aisément se construire ou se cal- 

 culer; et il en résulte les deux systèmes d'équations : 



h+k=b et hk=ab , h+k=—d et hk=z — ad. 



Considérons le premier système , dont il suffit de tirer les deux 

 valeurs de k , pour pouvoir mener ensuite les deux droites cher- 

 chées. Or, la discussion de ces deux valeurs apprend qu'elles sont 

 touloaTS positives et quelles sont réelles, si A>4a; égales h 2a , 

 si 6=4a, et imaginaires, si i<4a. Dans le second cas, le minimum 

 de c est donné parp+J/ [e-\-p')=ia ; et quant au troisième cas , 

 les valeurs imaginaires de k ne prouvent pas l'impossibilité abso- 

 lue du problème proposé : elles prouvent seulement que ce pro- 

 blème n'a pas de solution dans l'angle 6 des coordonnées positives. 

 Si en effet, on interprète les valeurs imaginaires de A, ce qui se fait 

 en changeant simplement ben — d; non seulement les deux valeurs 

 de k sont alors réelles , l'une positive et l'autre négative , mais elles 

 sont précisément les deux solutions fournies par le second système 

 précédent. Ainsi le problème a toujours deux solutions , et peut 

 en avoir trois ou quatre, faciles à construire chaque fois. — On pour- 

 rait demander que le triangle intercepté par la droite cherchée fût 

 équivalent à un carré donné b-, ou que la somme des deux autres 

 côtés du triangle eût la longueur donnée 2d : chaque fois , il y 

 aurait à discuter , à interpréter et à construire. 



2° Lorsque a est une droite numérique donnée et p un nombre 

 inconnu , on peut calculer et construire les quatre points réels qui 

 répondent au minimum de p , dans le système : 



xy=a' et x^ — y^ — 2a(x---}-y^) — ay{x — y)-\-ia^=o. 



Mais pour n'avoir que des équations du second degré à résoudre, 

 il faut d'abord poser x — y=v , puis élever les deux membres de 

 cette équation auxiliaire au carré et au cube ; etc. 



3° Considérons les deux systèmes d'équations homogènes : 

 x'+i/5=2a' et !rî/=o' , a;'+?/^=2a' et x^-{-y'=2a\ 



Si l'on pose X'\-y^=v dans le premier système , eixy=v dans le 

 second; chaque fois, par des éliminations appropriées aux deux 

 systèmes , on trouve une équation finale du troisième degré en v , 

 ayant trois racines réelles, dont une rationnelle, sinon les trois. — 

 Le premier système représente un point réel et deux points imagi- 

 naires : quelle modification feut-il introduire dans la seconde équa- 

 tion , pour que ces deux derniers points soient réels? 



