304 J. N. Noël. — Exercices 



de direction n arbitraire, on reconnait que cette droite est terminée 

 en deux points à la courbe et que la corde résultante est divisée en 

 deux parties égales par l'origine; celle-ci-est donc le centre de la 

 courbe et la corde , un de ses diamètres. De sorte que la courbe pro- 

 posée, appelée ellipse, n'a qu'un centre unique et une infinité de 

 diamètres : elle est fermée et rentrante sur elle-même , comme la 

 circonférence ; mais tous ces diamètres ne sont pas égaux entre eux. 



2. Soient a et 6 les distances de l'origine ou du centre aux points 

 où la courbe rencontre les axes des x et des y obliques , d'où Qa'=i 

 et P6==l. Il est clair que 2a, sur l'axe des x, et 2i , sur l'axe des 

 y , sont deux diamètres , et que l'ellipse proposée est représentée par 

 l'équation homogène : 



a'y'-^b'x'=a^b-... (1) 



Or, la discussion des valeurs de a; et de ^, tirées de cette équa- 

 tion , apprend que les deux diamètres 2a et 1b sont tels , que chacun 

 est bissecteur de toute corde de la courbe ■parallèle à l'autre , et cha- 

 cun parallèle aux tangentes menées par les extrémités de Vautre 

 diamètre. 



Ces deux propriétés appartiennent aux diamètres situés sur les 

 deux axes des coordonnées , dans chaque système ; et voilà pour- 

 quoi 2o et 26 sont appelés diamètres conjuguées. Les quatre tangentes 

 aux extrémités de 2a et 24 , forment un parallélogramme circons- 

 crit P, dit parallélogramme conjugué , comme ayant ses côtés res- 

 pectivement égaux et parallèles aux deux diamètres conjugués 2a et 

 2i6; propriété qui n'a lieu que pour ce genre de parallélogrammes 

 circonscrits: aussi a-t-on l'aire P = 4aé sin 6. 



3. Si l'angle 6 varie, les valeurs des coefficients P et Q doivent 

 aussi varier, pour que l'équation Vy'-{-Qx-^l représente toujours 

 la même ellipse. Cette courbe admet donc une infinité de couples de 

 diamètres conjugués , dont un seul rectangulaire ; vu que 6 ne peut 

 avoir qu'une seule valeur de 90". 



Dans ce cas, comme en changeant l'une dans l'autre les dénomi- 

 nations des deux axes, on peut toujours faire qu'on ait P>Q; il 

 est clair que si A et B désignent les distances du centre aux points 

 où l'ellipse proposée coupe les axes des oc et des y rectangulaires , 

 d'où QA^=1 et PB"=1; 2A et 2B seront les deux seuls diamètres 

 conjugués à angles droits et l'on aura 2A>2B. L'ellipse proposée 

 est donc alors représentée par l'équation oùi9=90°, savoir : 

 A'y'+B'x'=A'B\..{2) 



Par cette équation , on reconnaît que 2A et 2B sont chacun bis- 



