de Géométrie analytique. 305 



secteur de toute corde de la courbe qui lui est perpeudiculaire : ce 

 sont , par suite, les deux axes principaux ou de symétrie et simple- 

 ment les deux axes de l'ellipse : 2A le grand axe et 2B Xeipetit. Les 

 extrémités de 2Aet 2B sont appelées sommets de la courbe : ce sont 

 les contacts du rectangle R circonscrit , dit rectangle des deux axes , 

 comme ayant ses côtés respectivement égaux et parallèles à 2A et 

 2B : donc R=4AB. 



Soit d un demi-diamètre et (x,y) son extrémité sur l'ellipse pro- 

 posée : éliminant successivement y et x entre (2) et d'=x''-]-y' on 

 verra que de tous les diamètres de l'ellipse , 24 est le plus grand et 

 2jB le plus petit. 



Enfin, marquant sur 2A deux points F et F', appelés foyers de 

 l'ellipse, aux distances c et — c du centre et données par C^A' — 

 B', on sera conduit à la propriété caractéristique de l'ellipse , d'après 

 laquelle on définit celte courbe plane et on la décrit , soit par points 

 successifs , soit d'un mouvement continu. 



4. Soit d un demi-diamètre de l'ellipse (1) et n sa direction : on a 

 les trois équations simultanées : 



a'y'-\-b'X' = a^b', 

 y=nx et d'=x--\-y^-{-^xy cosô. 

 Éliminant a; et ^ entre ces équations ; l'équation finale du second 

 degré en n ald, n'a pas d'autres variables que ces deux nombres. 

 Si donc on la résout par rapport à re , la quantité sous le radical est 

 nécessairement rendue nulle par le maximum et par le minimum 

 de d; ce qui donne chaque fois 



{d'—b^)n=b-coie et d^ — {a--\-b-)d- ■\-a^h'sm'6=io. 

 Les racines de la seconde équation sont le maximum A» et le mi- 

 nimum B'' de d'' ; ainsi on a les deux relations connues : 

 a'-\-b'=K'-\-'B' et ab sin e=AB. 

 De plus , on a , pour calculer la direction n de A et la direction 

 «' de B : 



(A' — ;5=)w=;5'cos9 et (B' — b-)n'=^b'cos$ ; 

 d'oîi a^nn'= — b^ et a'(n+n')coi6=b'' — a». 



Par conséquent les directions n et n' satisfont à la condition do 

 perpendicularité , savoir : 



l-^nn'-\-[n-\-n') cos fl=o; 

 et cela doit être , puisque le maximum 2A et le minimum 2B de 2d 

 sont les axes de l'ellipse proposée , comme on l'a vu (3). 



Résolvant l'équation en d< et rf' par rapport à d', puis faisant 

 D'=a=-[-é'--2oé sin 6 et D"=a'-\-b'-{-2ab sin 9, 



