306 J. N. Noël. — Exercices 



on verra ensuite que 2d=W±:D; d'où il vient 

 2A=D'+D et '2B=D'— D. 



Il existe une construction très-simple et très-remarquable des 

 deux, droites D et D' : comment effectuer celte construction ? 



5. Si les deux points d'intersection de la sécante y=nx-\-h , avec 

 l'ellipse a't/''-l-i'a:'=a'i', se réunissent en un seul (i', y'); d'où 

 la condition o'n' + /6'=A' , il est clair que la droite touche la courbe 

 au point (x' ,y'); et l'on trouve 



a'«y-= — b'X', a'yy'-i-l/'xx' = a''l>'. 



La seconde de ces équations représente la tangente au point (a/, y') 

 de l'ellipse dont 2a et 2b sont les diamètres conjugués ; tandis que 

 la première équation détermine la direction n, unique et toujours 

 réelle, de cette tangente. Il en résulte que les tangentes aux extré- 

 mités d'utt diamètre quelconque de l'ellipse sont parallèles entre elles ; 

 et réciproquement. Il existe donc une infinité de parallélogrammes 

 circonscrits, non conjugués; et il ne peut y avoir trois tangentes 

 parallèles entre elles. 



D'ailleurs, si n' est la direction du diamètre mené au point du 

 contact [x', y') , d'où y'=n'x' , il vient a^nn'^b- = o. Et puisque les 

 tangentes aux extrémiiés de ce diamètre sont parallèles à son con- 

 jugué, on voit que »iest la direction de ce conjugué. Ainsi les direc- 

 tions n et n' de deux diamètres conjugués quelconques, et par con- 

 séquent les directions de deux cordes supplémentaires , respective- 

 ment parallèles à ces diamètres, satisfont toujours à la relation 

 a'nw'-j-i'=o. 



6. L'ellipse étant rapportée à ses deux diamètres conjugués 

 AB=2o et CD=26 , soit M le point donné (x', y') de tangenee ; 

 soient!/, et y, les ordonnées de la tangente en M, répondant aux 

 abscisses x=a et x= — a; soient enfin Y, et Y, les longueurs de 

 ces ordonnées, prolongées jusqu'aux prolongements des droites 

 AM et BM. On démontre aisément que : 



Y, -22/, , Y,=2y, , y,y.=b- et y' (t/,-l-j/,)=26\ 

 La milieu de Y, est donc un point de la tangente en M. Et comme 

 la même propriété a lieu pour ^hyperbole et pour la parabole , il en 

 résulte le mojcn le plus simple de mener, à chacune de ces trois 

 courbes , une tangente en un point donné M de cette courbe. 



Si donc les deux axes principaux 2A et 2B de l'ellipse 

 sont donnés et que la tangente en 31 , fesant avec le prolongement 

 de 2A un angle de 60", aille le couper à la distance connue d du 

 centre; comment calculer le contour et l'air du trapèze rectangle T, 



