308 J. N. NoEi.. — Exercices 



et de longueur , peut se faire lorsque les deux diamètres conjugués 

 '2a et 2b sont donnés et tracés. Voici pour cet effet, quatre pro- 

 priétés, faciles h démontrer : 



1° Si n et n' sont les directions des deux demi •diamètres d et d', 

 situés départ et d'autre de l'axe des y, dans l'ellipse (1); ces deux 

 diamètres sont égaux dès que n' — — n; et réciproquement. 



2° Si les deux diamètres égaux sont en même temps conjugués, 

 ils ont pour équations : ay=±bx , et pour longueur : 2rf=j/(2a' 

 -\-2b'); il est donc facile de les tracer, 



3° Les deux axes cherchés 2A et 2B se trouvent sur les bissec- 

 trices des angles formés par les deux diamètres conjugués égaux. 



4° Enfin les deux demi-axes A et B sont les diagonales respectives 

 des deux carrés, ayant pour côtés les projections orthogonales de d 

 sur les bissectrices des angles compris par les deux diamètres con- 

 jugués , égaux à 2d chacun. 



Pour le demi-diamètre d, on élimine x et y entre les trois équa- 

 tions simultanées: (I) , y=nx et d'=x''-{-y' + 2xy cos S. De même 

 pour d', en remplaçant n et cos 6 par n' et — cos 6. Quant à la qua- 

 irième propriété, on fait a=b^d dans les expressions de D' et D'" 

 qui ont servi plus haut (4) à construire 2A et 2B. On a ainsi une 

 vérification de cette construction remarquable. 



9. Considérons l'ellipse et la circonférence décrite sur le grand axe 

 AB=2A , comme diamètre , 2B désignant le petit axe. Prenons sur 

 AB la longueur AC^A et menons, par C , sur AG, la perpendicu- 

 laire , coupant l'ellipse et la circonférence en D et en G : il en résulte 

 les demi-segments elliptique et circulaire , savoir : CAD^R et 

 GAG=R'. 



Les ordonnées , depuis x=X — h jusqu'à x^=A, divisent h en un 

 nombre n de parties égales à m et rencontrent les arcs de R et R' 

 aux sommets de deux polygones P et P' inscrits. Or, ces polygones 

 sont composés chacun de n trapèzes rectangles , tons de même hau- 

 teur m; si donc l et l! sont deux trapèzes correspondants , on sait 

 que leurs bases, en ligne droite, sont dans le rapport de B à A, 

 aussi bien par suite que t et i' ; d'où il vient Al^Sl'. Mais comme 

 P est la somme de tous les t et P' la somme de tous les l', il est clair 

 que AP=BP'. 



D'ailleurs, le polygone P<R et P'>R'; si doncj: et ;' désignent 

 les différences, on aura P=R— ;: et P'=R'— ;'. Substituant donc, 

 il vient 



AR=BR-f-A;— B;'. 



