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de Géométrie analytique. 309 



Plus est grand le nombre n des parties u de h, plus les poly- 

 gones P et P' ont de sommets communs arec les demi- segments 

 R etR'; plus donc ils approchent de coïncider avec ces derniers et 

 plus les différences s et z sont petites. Ces différences varient donc , 

 aussi bien que Az — Bs', sans que l'égalité précédente cesse d'être 

 exacte. Or, comme A, B , R et R' sont des nombres constants, l'éga- 

 lité proposée est absolument indépendante delà différence variable 

 Az — B/; car si cette différence devait y être conservée, le nombre 

 constant AR serait toujours égal au nombre variable BR'+As 

 — Bz' ; chose évidemment absurde. Donc on a exactement 



AR=BR ; 

 absolument comme si la différence Az — Bs' était rigoureusement 

 nulle , aussi bien que z et z ; c est-à-dire comme si P et P' coïnci- 

 daient avec R et R'. 



Or, pour cela , il faut que les ordonnées, divisant h en n parties 

 égales à u, soient immédiatement consécutives; ce qui exige que le 

 nombre n soit infiniment grand (ou surpasse le plus grand nombre 

 imaginable) et la partie u, infiniment petite (ou moindre que la plus 

 petite partie assignée , si petite qu'elle soit). De sorte que les arcs 

 de R et R' ne sont alors que des lignes brisées, ayant un même 

 nombre infini n de côtés, chacun infiniment petit; et par suite les 

 trapèzes rectangles t et i' coïncident avec les tranches T et T' de 

 R et R' : donc puisque AT^BT' , il en résulte sur-le-champ 

 AR=BR'. 



Delà, si R est le quart de l'aire E limitée par l'ellipse, en même 

 temps R' est le quart de l'aire du cercle ; d'où il vient 

 E=7rAB=^ab sin 6. 



Tout secteur elliptique , compris par deux diamètres conjugués 

 2a et 2b, est déterminé par un secteur circulaire dont l'angle est 

 droit ; ainsi deux diamètres conjugués divisent l'aire de l'ellipse en 

 quatre secteurs équivalents (à démontrer chaque fois). 



Enfin, deux ellipses sont semblables lorsque leurs axes homolo- 

 gues sont proportionnels : ce sont deux lignes brisées semblables ; 

 car elles ont le même nombre infini de côtés (ou éléments recti- 

 lignes ) homologues proportionnels, comprenant des angles homo- 

 logues égaux (facile à démontrer). Si d'ailleurs les ellipses sont con- 

 centriques et les axes homologues, en ligne droite ; ces deux ellipses 

 sont semblables, de forme et de position : elles ont alors un même 

 centre de similitude. 



10. Connaissant numériquement les diagonales 2c el2(/ d'un lo- 



