310 J. N. NOËL. — Exercices 



sangc tracé , calculer et construire les axes principaux 2A et 2B do 

 l'ellipse d'aire maximum , inscrite dans ce losange, et démontrer 

 qu'elle touche les côtés aux extrémités de ses deux diamètres conju- 

 gués égaux. — Comment vérifier que l'aire elliptique maximum 

 inscrite surpasse l'aire du cercle inscrit dans le môme losange? — 

 Comment décrire l'ellipse, d'aire maximum, inscrite dans le carré 

 dont 2d est la diagonale donnée ? — Comment calculer l'aire du seul 

 carré circonscrit à une ellipse donnée ? Et comment vérifier que 

 l'aire de cette ellipse est moindre que l'aire du cercle inscrit dans 

 le même carré? 



Observez d'ailleurs , que la méthode des projections orthogonales 

 conduit très-simplement , de l'aire du cercle à celle de l'ellipse , et 

 sert à trouver immédiatement l'ellipse d'aire maximum ou mini- 

 mum, inscrite ou circonscrite , soit à un triangle, soit à un paral- 

 lélogramme donné. 



11. Voici encore une suite de propriétés fort remarquables, bien 

 faciles à démontrer, d'après les équations des tangentes : 



1° Lorsque le produit nn' des directions des deux côtés adjacents 

 de tout parallélogramme , circonscrit à une ellipse donnée , est un 

 nombre constant et négatif — p", les sommets de ce parallélogramme 

 variable décrivent une seconde ellipse dont les axes se trouvent sur 

 ceux de la première; et les deux ellipses sont semblables, de for- 

 me et de position , si le parallélogramme circonscrit variable est 

 conjugué. 



2" Soient E,, E- , E3 , E4..., une suite d'ellipses concentriques et 

 rapportées au même système d'axes rectangulaires, de telle sorte 

 que chacune soit le lieu géométrique des sommets du parallélo- 

 gramme variable, circonscrit à celle qui la précède immédiatement 

 et dans lequel le produit mi ou — />' est constant : si — p^ reste le 

 même pour passer de chaque ellipse à la suivante, loules ces ellipses, 

 à partir de la seconde, si les parallélogrammes ne sont pas conju- 

 gués , et à partir de la première , dans le cas contraire , sont sem- 

 Ijlables , de forme et de position ; de sorte que leurs aires devien- 

 nent de deux en deux fois plus grandes. 



3° Le parallélogramme variable , circonscrit à l'ellipse E, , est un 

 rectangle , si p=l , c'est-à-dire si nn'= — I ; et alors les sommets 

 de ce rectangle variable décrivent une circonférence concentrique 

 à l'ellipse E, , ayant pour rayon le côté du losange des sommets de 

 celle ellipse. 

 4° Les deux droites , menées des contacts de deux côtés opposés 



