de Géométrie analytique. 311 



d'un rectangle R, circonscrit à E,, à un point du troisième côté de 

 ce rectangle, donnent une somme minimum, égale au diamètre du 

 cercle circonscrit à R , lorsque le point du troisième côlé est le 

 contact de celui-ci avec l'ellipse proposée. 



5° Les deux cordes de contacts de l'ellipse E, avec les deux cou- 

 ples de tangentes, menées de deux points infiniment voisins de la 

 circonférence concentrique , circonscrite au rectangle R , lui-même 

 circonscrit à E, , se coupent sur une ellipse E', , confocale avec la 

 première E, (et enveloppe de chaque corde joignant deux contacts). 

 6° De cette manière, les eHipsesE,,Ej,E3,E4... .semblables défor- 

 me et de position (2°), conduisent à la suite d'ellipses, respectivement 

 confocales, E',, E',,E'3,E'4,etc.Or, toutes ces dernières ellipses sont 

 semblables, de forme et de position; et leurs aires deviennent de deux 

 en deux fois plus grandes. — Quel est le rapport des aires de E, et E', ? 

 7° Si les directions variables n et n\ de deux tangentes à la cir- 

 conférence x''-\-y' = r% sont telles qu'on ait constamment nn'= — p' , 

 p étant un nombre donné ; l'intersection de ces deux tangentes dé- 

 crit une ellipse. De plus, les deux cordes de contacts de la circon- 

 férence avec les deux couples de tangentes, menées de deux points 

 immédiatement consécutifs de l'ellipse, se coupent sur une seconde 

 ellipse, semblable à la première, mais inversement située; et l'aire 

 du cercle proposé est moyenne proportionnelle entre les aires des 

 deux ellipses. 



8° Enfin , le produit des directions variables n et «' de doux tan- 

 gentes à une ellipse donnée , étant constant et négatif, l'intersection 

 de ces deux tangentes variables décrit une ellipse concentrique à la 

 proposée. Or, si le produit constant nn' est représenté successive- 

 ment par — p' et par — 1 sur p-, le nombre donné p ayant la même 

 valeur dans les deux cas, les deux ellipses résultantes sont semblables 

 entre elles, mais inversement situées. — Ces deux ellipses c et e', 

 comme on l'a vu (5°) , en fournissent deux autres, concentriques à 

 la proposée et respectivement confocales avec e eie' : ces deux autres 

 ellipses sont-elles semblables entre elles? 



12. Lorsque l'angle des coordonnées est de C0% les deux paral- 

 lèles représentées par l'équation 



x'-\-y'+2xy=M, 

 coupent les axes des coordonnées aux sommets d'un rectangle, dont 

 les diagonales sont les diamètres conjugués égaux d'une ellipse 

 circonscrite : quels sont les axes de cette ellipse et quelle est l'ex- 

 pression de son aire ? 



