312 J. N. NOËL. — Exercices 



Si Se etfl/3 sonl les dimeDsiuus du rectangle dont le centre esl 

 à l'origine des coordonnées , les axes étant rcspcclivement parallèles 

 aux côtés de ce rectangle ; calculer les axes et l'aire de l'ellipse cir- 

 conscrite, ainsi que les équations des tangentes à celle-ci, menées 

 par les sommets du rectangle ; et quelle est l'aire du losange circons- 

 crit résultant? — Si le système tourne autour du grand axe pro- 

 longé de l'ellipse , on peut aisément calculer , d'après la méthode 

 infinitésimale , les volumes engendrés par le demi-reclangle , la 

 demi-aire elliptique et le demi-losange. 



13. Propriétés des cordes. 1" Soient la et 26 les axes d'une 

 ellipse ; soit c l'excentricité et 2c! la longueur d'une corde , passant 

 par un foyer et faisant avec le grand axe la l'angle a, d'où 

 « = tang a : on trouve la relation : 



(o=ra'+i')(Z^a6'(l-|-w') ou [a'sm''a-\-l''cos''cc)d=al' . 

 Ainsi de toutes les cordes , passant par un foyer, la plus grande 

 est le grand axe et la plus petite, le paramètre. 



2° Soit 2iZ' une autre corde , passant par le même foyer , et soit 

 n'^tanga' sa direction. Soit d'ailleurs m la somme des inverses de 

 d et de d' : on trouve aisément 



ab'm — 26'=c''(sin'iï-|-sin'a') =f'A, 

 Si les deux cordes font entre elles l'angle donné v, d'où a' — a=v; 

 il est clair qu'en posant '=:U-l-i« et a=M — jw , on trouve 

 2cost; siB'U:=k — 2sin"ït). 

 Suivant donc que l'angle v est aigu ou obtus , le minimum ou le 

 maximum de k et par conséquent celui de m , est /r=2sin'iî) ; d'où 

 a'={v , a= — 7^ et d^d'. 

 Le maximum ou le minimum de la somme des inverses de deux 

 cordes de l'ellipse, passant par un foyer et comprenant un angle 

 donné v, obtus ou aigu , a donc lieu dès que ces deux cordes sont 

 égales entre elles. 



3° Le maximum ou le minimum de m étant donné par 

 ai=w=2c'siu'|t)-|-2i' , 

 il est clair que ce maximum ou ce minimum est le plus grand possible 

 dès que v^OO" ; et comme les deux cordes sont égales à rf, on a alors 

 ab'm=a'-\-B' et {a'-\-5')d=2ab^. 

 4° Le lieu géométrique des milieux de toutes les cordes, passant 

 par un foyer de l'ellipse dont 2a=20 et 2i = 12 sont les axes , est 

 une seconde ellipse , semblable à la première : quelles sont les valeurs 

 numériques des axes de cette seconde ellipse? 



En général le lieu géométrique des milieux de toutes les cordes , 



