314 J. N. Noël. — Exercices 



n'était pas nulle , le nombre constant a serait toujours égal au nom- 

 bre variable b+x — y ; il ne serait donc pas constant ; contraire- 

 ment à l'hypothèse. Il faut donc que X — »/=0 et a^i; absolument 

 comme si les variables x et y, que l'on peut supposer inGniment pe- 

 tites chacune , aussi bien que leur différence , étaient rigoureusement 

 nulles, La différence inGoiment petite x — y est donc comme nulle 

 et doit se négliger à l'égard de la grandeur b, qui la contient une 

 infinité de fois ; d'où il vient exactement a = b : c'est le principe 

 fondamental proposé. 



2° Les variables x et y devant donc disparaître de l'équation finale 

 a=^b-\-x — y, ne peuvent être que des auxiliaires , pour faciliter les 

 raisonnements et la mise en équation ; de sorte que, môme avant 

 d'en faire usage, on avait a=i5. Mais cette égalité était d'abord in- 

 connue; et la suppression des variables x et y, qui servent à la dé- 

 couvrir, constitue la règle des variables auxiliaires. 



3° Cette règle est l'une des plus simples , des plus claires et des 

 plus exactes, parmi les méthodes élémentaires de la géométrie : elle 

 fournit directement la proportion entre les circonférences et leurs 

 diamètres, aussi bien que les expressions de l'aire du cercle et de 

 l'aire de tout secteur circulaire; elle fournit les expressions des 

 aires dans les corps ronds et l'expression du volume, soit de toute 

 pyramide, de tout cylindre et de tout cône, soit de tout segment 

 sphérique , etc. Mais on peut souvent abréger les raisonnements et 

 les calculs en supprimant d'abord, d'après la méthode infinitési- 

 male , ce qui doit disparaître à la fin, en vertu de la règle ci-dessus. 



1 . Par exemple , soit T l'aire du segment de la parabole y''=2px , 

 limité par Varc de la courbe, depuis y=0 jusqu'à y=h; et de plus 

 limité par l'axe des y et par la parallèle à l'axe des x , menée de 

 l'extrémité de h. Soit k la longueur de cette parallèle , donnée par 

 ipk=h- ; soit s le sinus de l'angle des coordonnées, compris par les 

 côtés ^ et ^ du parallélogramme P : celui-ci est divisé par l'arc dia- 

 gonal de la courbe en deux parties T et T' , appelées segments de 

 la parabole proposée; d'où T'=P — T. II s'agit de calculer l'aire T. 



Or, les parallèles à l'axe des x, depuis ^=0 jusqu'à y=h , divi- 

 sent h en n parties égales à ti , d'où A=nM, et divisent T en n tran- 

 ches, à bases parallèles et toutes de même hauteur «s. Soit t hv 

 iéme de ces tranches, à partir de l'origine : ses deux bases x' et j/' 

 répondent donc à y^uv et à y=u{v — 1) ; d'où ^px'^v'u" et ^px" 



={v—iyu\ 



La V ième tranche t est moindre- que le parallélogramme sux' , 



