de Géométrie analytique. 315 



comme y étant contenue.: mais elle est plus grande que le parallé- 

 logramme sux", comme le renfermant. On a donc t=sux' — <s« 

 {x' — as") ; d'où en multipliant par 2/) et substituant , il vient 



2/)<=suV— <^su\v' (!'— 1)']. 



Or, on a v'=\[d'^ — [v — 1)']-|-<[«'— <u— 1)']; donc 

 2p<=isM'[î)'— (w— l)'] — <su'[«'— («J— 1)']. 

 Prenant successivement «=l,2, 3, 4,..., n, ajoutant et rédui- 

 sant, on trouve 



2j9T=isA^— <suA'. 

 Cette équation , toujours exacte , n'a que le seul terme en u , va- 

 riable avec n ; il faut donc que ce terme disparaisse : cela donne 

 exactement 



'lpT=ish^; d'où T=isA/l=ip et T'=^P. 



2. Maintenant , pour voir les abréviations que la méthode infi- 

 nitésimale apporte à la règle des variables auxiliaires, observons 

 d'abord que v'—{v — l)'=2y — 1, et que par suite on a 



2/)<=m'K'— <2stt'i;. 



Ensuite , puisque le nombre , dû à 2su'î) , disparaît de l'expres- 

 sion de 2pT, comme on vient de le démontrer; on voit qu'on sim- 

 plifiera les calculs en négligeant d'abord tous les termes où , comme 

 dans 2su2v, l'exposant de u surpasse de plus d'une unité celui de v. 

 Or, cela revient ici à supposer d'abord n infini cl u infiniment petit , 

 puis à regarder la v ième tranche t (dont alors les deux bases paral- 

 lèles sont immédiatement adjacentes, et par suite égales) comme 

 un parallélogramme infiniment petit. Par cette première abrévia- 

 tion , on a simplement 



2pt=su^v\ 



Prenant successivement v=l, 2, 3,4,..., n; ajoutant entre elles 

 les n expressions résultantes et désignant par Sa» la somme des car- 

 rés des n premiers nombres entiers, n étant ici infini , on aura 



2pT=5u'S«' : déjà 2pT=\sh^=^su^n^ ; 

 il faut donc que, « étant infini , on ait S«= = jn'. Cela revient en- 

 core, dans Sn' =in(w-|-l)(2n-f-l), à regarder 1 comme nul vis-à-vis 

 de n infini. On voit que , dans 2pT=sM'Sn' , il faut remplacer 

 Sn» par j«' ; et telle est la seconde abréviation que la méthode infi- 

 nitésimale apporte à la règle des variables auxiliaires n et u. 



3. Cette seconde abréviation est d'autant plus remarquable qu'elle 

 s'applique à Sn'",n étant infini et m un exposant quelconque , diffé- 

 rent de —1 ; c'est-à-dire qu'on a toujours Sn"'=nn'° : (m+1). 



En effet, ayant toujours h=^nu,h étant un nombre constant et u 



