31 G J. N. KOEL. — Exercices 



un nombre inGnimcnt petit , la série Innomiale donne 



(«— l)"'-'-'=D"'+'— ()ft-l-l)y'"-|- ■m(m-|-l)t)'"— , etc. 

 Multipliant de part et d'autre par u""^', puis négligeant tous les 

 termes où l'exposant de m surpasse de plus d'une unité l'exposant 

 de V (vu qu'en vertu de la règle des variables auxiliaires , tous ces 

 termes donnent des nombres qui disparaissent dans le résultat ûnal 

 des calculs) , i! est clair qu'on aura 



{m+l)M'"+'?;'"=it"'+'[«'"'^'— («— T+'l; 

 d'où (ffi+ 1 )M"'+"S»'"=(nMr+' = A"'+'. 

 Cette relation , due à la méthode infinitésimale , reçoit beaucoup 

 d'applications remarquables; et en voici plusieurs, pour exercices- 



4. Soit G une grandeur géométrique , aire ou volume ; soit b sa 

 base, longueur ou aire ; enfin , soit h sa hauteur numérique , droite 

 ou courbe donnée: si x est une section parallèle à b, faite à la dis- 

 lance du sommet, désignée par y et mesurée sur A ; et si m étant un 

 exposant quelconque , on a toujours 



b : X :: h"" : y"" ; 

 In décomposition de G en tranches, toutes de même épaisseur « 

 infiniment petite, donne la formule très-générale : 

 G=bh:[m-\-l). 



5. Les coordonnées étant rectangulaires, soit T le segment, de- 

 puis x=o jusqu'à x=h, dans l'une des trois courbes 



y''=2px-\-qx''. 

 Si T tourne autour de A , on trouve, toujours par la décomposi- 

 tion en tranches, la formule : 



vol. T=,TA'(p-t-i?A). 

 Cette formule s'applique à la parabole, où q=o; à Vhyperbole, 

 où q est positif; à Yellipse , où q est négatif; enfin, au cercle de 

 rayon r, où j:^ — 1 etp^r. Dans ce cas, on a l'expression du 

 yo\ame de loul segment sphérique , de hauteur A; puis l'expression 

 de la sphère; celle de tout secteur sphérique et de tout onglet; etc. 



G. Suit une suiîe de triangle^s tels, qu'en suivant le contour de chacun et prolon- 

 geant chacun de se.^ côtés de n fois ce côté , on ait les sommets du trian;^le qui suit 

 iroméiliatement ; 1° Ces triangles ont leurs aires en progression géométrique dont 

 la raison x est l-]-3n+3«' ; 2^ on peut calculer les valeurs enlièrcs de x qui ren- 

 ttent entier le nombre n ; 3° tous les triangles sont à la fois équilatéraux et con- 

 centriques; i° on peut calculer le périmètre , Taire et les rayons des cinq cercles^ 

 dans chaque triangle équilatéral , le côté a du premier étant seul donné avec n, 

 b' enfin , pour le troisième triangle équilatéral, par exemple, la méthode infi/ïi/c- 

 simale conduit aux expressions des surfaces et des volumes engendrés respective- 

 ment autour du côté c de ce triangle , par la circonléreiice et Taire , soit du cercle 

 inscrit , soit de l'un des cercles exinscrils , et jarle contour tt l'aire de la lumiîle 



