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que l'axe de rotation détermiue, soit daus le cercle circonscrit, soit dans le ceicle 

 dont la circonférence passe par les centies des trois cercles exinscrits. — Observr/. 

 d'ailleurs que si la circonférence , passant par le centre du cercle inscrit et deux 

 des trois précédents, était située d'un côté de l'axe de rotation , on aurait la sur- 

 face et le volume de Vanneau rond engendré; etc- — Les quadrilatères jouissent de 

 propriétés analogues, et notamment les carrés: il en est de même des hexagones 

 réguliers et en général des polygones réguliers semblables. — On pourrait ne con- 

 sidérer qu'un seul triangle , dont ou prolongerait , dans les deux sens , chacun des 

 côtés, d'une longueur égale à n fois ce côté ; etc. 



XIII. Des courbes polaibes. Les courtes polaires , comme on 

 sait, sont représentées par des équations entre coordonnées polaires: 

 ce genre de coordonnées est souvent utile (quand il n'est pas néces- 

 saire) pour simplifier l'équation et faciliter l'étude des propriétés de 

 la courbe. 



Par exemple, un carré de côté a étant donné , quel est le lieu 

 géométrique de tous les points tels, que la demi-diagonale d soit 

 moyenne proportionnelle entre les distances de chaque point cher- 

 ché à deux sommets opposés du carré proposé ? 



Les axes des coordonnées étant sur les diagonales , soit {x,y) l'un 

 des points cherchés : si les deux sommets opposés appartiennent à 

 l'axe des x , on aura 



a;4_i_2^4-|-2a;'t/'=2(/=(x»— 2/'). 



On trouve bien que le maximum de y , savoir ±|(i , répond à 

 x=-=±\dy"i; mais pour avoir une équation plus facile à discuter, 

 soit r le rayon vecteur du point [x,y] , le centre du carré ou l'ori- 

 gine étant le fôle ; soit a l'arc circulaire , de rayon 1 , qui mesure 

 l'angle de r avec \' axe "polaire , ici l'axe des x : suivant que les deux 

 sommets opposés du carré se trouvent sur l'axe des x ou sur l'axe 

 des y, on a , à cause de a'=2d', 



;.v r-=a' cos 2^ ou r"= — a' cos 2m. 



Si donc on supprime toujours le signe — de certaines valeurs de 

 cos 2m, vu qu'il ne s'agit ici que de ses valeurs absolues pour cal- 

 culer r, positif ou négatif; on voit que le lieu géométrique cherché 

 est représenté par l'équation polaire : 



r'=a' cos 2». 



C'est donc la double lemniscate, ayant quatre axes de symétrie, 

 perpendiculaires deux à deux au centre , où elle a quatre inflexions. 

 Cette courbe remarquable a deux axes égaux chacun à 2a , sur les 

 axes de symétrie des x et des y ; elle est donc inscrite dans le carré 

 dont les côtés 2a sont parallèles aux axes des x et des y , et touche 

 ces côtés en leurs points milieux. 



