318 J. N. Noël. — Exercices 



Soit A l'aire d'une demi-feuille de la courbe : l'aire limitée par 

 celte courbe est donc 8A. Or, les rayons vecteurs , depuis r=:a jus- 

 qu'à r=o , divisent l'arc «=45°, de rayon 1 , en un nombre inCni n 

 de parties égales à u , d'où a=nu=45° ; ils divisent donc l'aire A 

 en w secteurs élémentaires ou infiniment petits , ayant tous le même 

 angle au centre , mesuré par l'arc infiniment petit a ; d'où sin u^u 

 elcos M=l. Soit t le v ième de ces secteurs, répondant à l'angle 

 décrit f M : donc t n'est au fond qu'un triangle rectiliyne isocèle et 

 par conséquent on a 



t»=ir'M=ia'M cos ScM ; d'où A=ja'uS cos2w«. 



Or, on sait que uS cos 2nu^j sin 2nu = ^ sin 9i)°= j ; donc 

 A = Ta' (■l8A=2a\ 



La double leraniscale proposée est donc une courbe carrable , 

 dont l'aire est moitié de l'aire du carré circonscrit : elle engendre, 

 autour du côté 2o de ce carré , un volume de révolution équivalent 

 au tiers de la sphère dont a est le rayon donné. 



Comment discuter la courbe polaire r=àz2a cos w ? Et qu'elle est 

 l'expression de l'aire limitée par cette courbe? 



XIV. Axes PRl^'ClPACX. L'angle e des coordonnées étant quel- 

 eonque, toutes les courbes du second ordre, douées de centres, 

 savoir Yellipse el {'hyperbole, sont représentées par l'équation ra- 

 menée à la forme : 



Cf+2Dxy-]-Ex^=G; 

 cl l'on sait que celte équation représente une ellipse ou une hyper- 

 bole, suivant que D' — CE est négatif ou positif: cela résulte d'ail- 

 leurs du calcul des axes principaux 2A et 2B, tous les deux réels 

 pour l'ellipse et 2B imaginaire pour l'hyperbole. 



L'origine est au centre : soit donc d un demi-diamètre quelcon- 

 que, n sa direction et posons ;)=sin e,5r = cos « : le rayon trigono- 

 mélriquc étant l'unité, nous aurons 



y=nx et x- -\-y''-j-1qxy==d' . 



Comme l'extrémité (x,y) de d appartient à la courbe , les x et 

 les y ont mêmes valeurs respectives dans les trois équations pré- 

 cédentes. Si donc on en élimine x et y, en posant <i'=Gw , l'équa- 

 tion finale prend la forme 



(l-Cc)»'— 2(Du-9)w=Eu— 1. 



Les seules variables de cette équation sont n et t) ; si donc on la 

 résout par rapport à n, il est clair que \e maximum et le minimum 

 de V doivent annuler la quantité sous le radical de n et donner , 

 par conscquenl , 



