de Géométrie analytique. 319 



{l—Cv)n=Dv—g et 

 {CE—D'y—{C+E—2T)q]v-\-p' = o. 

 La seconde de ces équations faisant conoaîlre la plus grande et 

 la plus petite valeur de v , h relation d'=Gv donne le maximum 

 et le minimum de 2d, c'est-à-dire les deux axes principaux 2A el 

 2B de l'ellipse ou de l'hyperbole ; vu que l'un est le plus grand et 

 l'autre le plus petit de tous les diamètres de la courbe. On a donc 

 les deux relations : 



. „ (C+E— 2Do1G . „ Gp' 



CE— D' CE-D' ■ 



Si CE — D= est négatif et par conséquent D' — CE positif, B' sera 

 négatif e\.2B la seconde axe de l'hyperbole, 2A étant le premier. 



Quant aux directions n et n' des deux axes 2A et2B, elles sont 

 données par (1 — C«)n=Du — q où l'on substitue successivement le 

 maximum et le minimum de u : il en résulte, comme cela doit être, 

 i-\-nn'-\-(n+n')q=o. 



Cette condition de perpendicularilé des axes 2A et 2B est satis- 

 faite dans le problème : Quel est le lieu géométrique de tous lespointi 

 obtenus en portant, du côté des y rectangulaires positifs et à partir 

 de l'extrémité de chaque ordonnée , dans la circonférence x'-)-y'=r", 

 la longueur de l'abscisse correspondante ? Ici q=o et p=l ; on 

 trouve donc 



«=2- j/5,«'=2+|/5 et l+nn'=o; 

 2A = r(l/5+ l),2B=r(i/5— 1) et TAB=Tr'. 



Le lieu géométrique cherché est donc l'ellipse d'aire équivalente 

 au cercle proposé. Et si , dans l'équation aux axes principaux de 

 cette ellipse , on porte, du côté des y positifs el à partir de l'extré- 

 mité de chaque ordonnée , la longueur de l'abscisse correspondante; 

 tous les points , ainsi obtenus, appartiennent à l'ellipse, semblable 

 à la proposée et d'aire quadruple. — Comment calculer et cons- 

 truire les diamètres conjugués égaux de cette seconde ellipse? — 

 Voici encore plusieurs applications des formules précédentes. 



1. Si/)^o, les coordonnées sont rectangulaires, et l'on peut 

 aisément construire les axes principaux des deux hyperboles 



3y'—âxy=k' et 2y'—âxy-]-x''=k\ 

 Mais il faut d'abord placer l'origine au centre , pour calculer 

 ensuite l'aire de l'ellipse : 



4y ^—Gxy-\-ix' — iy — 4x — 25=o. 



2. L'angle des coordonnéesélant deGO", d'oùg'=i, si une droite 

 de longeur a donnée, est assujettie à glisser, par ses extrémités, 



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