de Géométrie analytique. 323 



rant les longueurs AC = BG''=î/ : les parallèles à l'axe des x , menées 

 par les points P et P', rencontrent les droites OC et OC en deux 

 points M et M' , appartenant à la parabole cherchée y'=2px. — La 

 même construction aurait lieu évidemment , pour le paramètre 

 diamétral 2p , si l'angle des axes était connu , c'est-à-dire si les 

 deux axes des coordonaées étaient tracés sur le terrain. 



2° Dans la parabole y' = 2pj; , si un système de cordes parallèles 

 est tel que chacune fasse , avec l'axe principal de la courbe (axe des 

 X rectangulaires), l'angle aigu donné $, de telle sorte que chaque 

 corde ait la direction constante ?»=tang B ; les milieux de toutes 

 ces cordes appartiennent à la droite ny=p : c'est un diamètre D, 

 parallèle à l'axe des x. Tous les diamètres de la parabole sont donc 

 parallèles à son axe principal. 



De plus , soit 0' le point où le diamètre D coupe la parabole ; soit 

 h l'ordonnée et k l'abscisse de ce point 0' : on a donc h^=2pk et 

 nh=p. Ainsi la tangente Ta l'origine 0' d'un diamètre D est paral- 

 lèle à toutes les cordes dont ce diamètre est bissecteur. 



3° Prenons D et T pour axe des x'et des y' obliques, comprenant 

 l'angle S. Soit M un point quelconque de la parabole : menant MP' 

 parallèle à T , les coordonnées obliques du point M sont 0'P'=a:' 

 et MP' = ^'. Menant l'ordonnée rectangulaire du point M, savoir 

 MP ou y, coupant D au point Q; on aura »/=PQ-j-QM=A-|-y'sin9 

 et x=k-^3/-i-y'cosS. Donc 



(A-(-j/'sinô)'=2p(i--hx'-|-î/'cosfl). 



Substituant les valeurs de h et k , tirées de Asinfl=/)cos9 et 

 h'='2fk ; développant et réduisant , on trouve 

 2p=2p'sin'fl et y''=2p'x'. 



La seconde de ces équations représente toujours la même courbe : 

 c'est la parabole rapportée à ses axes conjugués ; et 2p' est le para- 

 mètre diamétral de cette courbe; lequel varie avec l'angle fl, comme 

 cela doit être. 



Si donc l'abscisse x est la même dans les deux systèmes , c'est-à- 

 dire , si deux points M et M' de la parabole proposée sont repré- 

 sentés par y''=2p'x et y'=2px, on en déduit a;ysin9=X!/; pro- 

 priété analogue à celle des parallélogrammes conjugués de l'ellipse. 



4° Enfin, soit F le foyer; on a donc FO' ou r^k-i-rp; d'où 

 4r=2p'. Comme r fait , avec la tangente ï au point 0', un angle 

 égal à l'angle 6, compris par T et D ; on voit qu'étant donnée l'équa- 

 tion y''=2p'x de la parabole , aussi bien que l'angle , on en dé- 

 duit le foyer F , la directrice , et par suite le tracé de la courbe. — 



