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Il suit de ces formules, que les trois points Pa , P3 et Va sont 

 en ligne droite , tandis que P, , P4 et P5 sont les sommets d'un 

 triangle T. 



Vérifier ces difTérenles propriétés en se servant des valeurs géné- 

 rales a, b, c, d; et si le parallélogramme proposé est un rectangle , 

 calculer l'expression de l'aire T, le rayon du cercle circonscrit, 

 ainsi que le centre de ce cercle; etc. — On pourrait considérer le 

 cas où le point O est le centre du parallélogramme, et le cas où ce 

 parallélogramme est un carré; etc. — Enfin, un carré de côté donné 

 2a étant tracé, construire le lieu géométrique de tons les points 

 tels , que les deux produits des distances numériques de chacun 

 aux deux couples de sommets opposés du carré soient égaux 

 entre eux. 



Remarque. La géométrie anali/Uque ne peut s'acquérir complètement qu'en elfcc- 

 tuant soi-même beaucoup d'applications de ses principes et de ses méthodes; et 

 c'est pourquoi nous allons indiquer un grand nombre iVexercices de géométrie ana- 

 lytique des trois dimensions ^ dont plusieurs sont peu connus; tous sont utiles à 

 l'étude approfondie de la science et peuvent servir de sujets de composition, dans 

 les cours à^introducîion aux mathématiques supérieures , où l'on doit insister sur le 

 passage des méthodes élémentaires aux méthodes du calcul difîerenliel et du calcul 

 intégral ; aussi indiquons-nous , à l'aide de la simple géométrie analytique, les solu- 

 tions de plusieurs questions, ordinairement réservées aux calculs transcendants. 



Points, lignes et plans dans l'espace. 



1 . Déterminer numériquement la distance de deux points de l'es- 

 pace. Soit d la longueur de la droite qui joint les deux points don- 

 nés {x,y,z) et [x',y',z'). Le procédé le plus simple pour calculer d 

 est selui-ci : menant par les deux points donnés, des plans respec- 

 tivement parallèles aux trois plans coordonnés , il est clair que d 

 est la diagonale du parallélipipède résultant , dont les trois arêtes 

 contigucs , respectivement parallèles aux axes des x , des y et des z , 

 ont pour longueurs x — a;'=X , y — ^'=Y et s — z' = Z. Si donc ou 

 pose cos{xy)^p , coi{zx)=^q et cos(yz)^r, on trouve aisément 



(i'=X=-HY'-+Z'+2pXY+2îXZ+2rYZ. 

 Telle est aussi l'équation de la surface sphérique dont {x,y,z) est 

 un point quelconque, {x' ,y',sf) le centre fixe et d\e rayon constant. 

 Si les coordonnées sont rectangulaires , il vient 

 d^ = [x-3r)'+{y~y'r + (z-zY. 



2. Par un point donné (x,y,z), si l'on mène une droite quelconque; 

 quelles sont les conditions; 1° pour que cette droite rencontre un 

 plan donné; 2° pour qu'elle lui soit parallèle ; 3° enfin , pour qu'elle 



