026 J. N. Noël. — Exercices 



lui soit perpendiculaire? Comment calculer les longueurs de l'ohli- 

 que et de la perpendiculaire , depuis le point jusqu'au plaïi, et quelles 

 sont les expressions , lorsque les coordonnées sont rectangulaires! 



1° Les équations de la droite et du plan sont : 



X — x'=Tn{z—z'),y — y'=n{s—z'), 

 Ax-\-By+Cz+-l)=o. 



Posant D'=Aa:'-j-B)/'-|-C2'-l-D , l'équation du plan devient 

 Hx-x')-{-B{y-y']+C{z-z']+J)'=o. 



Cela posé, pour le point où la droite rencontre le plan , les a;, 

 y et z ont mêmes valeurs respectives dans les 3 équations ; éli- 

 minant donc et posant, pour abréger , <=A»n+B»i+C, on trouve 

 /(z— z')=— D',%— 2/') = — TiD'et t(x~x')=—mî): 



La droite rencontre donc toujours le plan , si « ou Am-|-Bn-}-C 

 n'est pas nul. 



2° Si les valeurs ci-dessus sont absolument impossibles , la droile- 

 ne rencontre pas le plan et lui est parallèle. Réciproquement, si la 

 droite est parallèle au plan, le point de rencontre (x,y,z) n'existe 

 pas; ce qui exige que les valeurs de x,y,z soient absolument impos- 

 sibles et que par conséquent on ait simultanément t = o et D']> 

 ou <^o. 



Mais x=mz-{-h et y=nz-\-k sont aussi les équations de la droite; 

 lesquelles donnent D'^/z'-|-AA+B/:-(-D. Donc pour que la droite 

 soit parallèle au plan , il faut qu'on ait simultanément 

 A»n-l-B«+C=o et Ah + B/^-f D> ou <o. 



Telles sont les deux conditions , nécessaires et suffisantes, pour 

 qu'une droite soit parallèle à un plan. 



Si cependant on avait D'=o, auquel cas le point [x,rf,z') est situé 

 dans le plan ; la droite parallèle aurait tous ses points dans le plan 

 et y serait tout entière. 



On aurait alors simultanément 



A)n-fBre-|-C=o et AA+Bi-l-D = o. 



Ce .'ont les deux conditions , nécessaires et suffisantes , pour que 

 la droite x^m,z-\-h,y^=nz-\-k , coïncide avec le pian Aa;-f-By+ 

 C:-4-D=o. 



Observons d'ailleurs que si la droite , dont m' et n' sont les di- 

 rections , est située dans le plan proposé, d'où Am'+Bn'4-C=o; 

 et si de plus, on veut que cette droite soit parallèle à la première, 

 dont le parallélisme au plan donne Am-f-B«-(-C=o, il faudra qu'on 

 ail m'=m et n'=n. De sorte que si une droite est parallèle à un 

 plan, elle est parallèle à une infinité de parallèles , situées dans ce 



