de Géométrie analytique. 327 



plan ; car ici les directions m' et n' sont les mêmes pour toutes les 

 parallèles situées dans le plan proposé. 



3° Pour exprimer , le plus simplemenl possible , les conditions 

 de perpendicularité de la droite et du plan proposés , il faut sup- 

 poser les coordonnées rectangulaires. Or , pour que la droite 

 x=mz-\-h,y^nz-]-k , soit perpendiculaire à une autre ar=m'z-f- 

 h',y=n'z-\-k!, qu'elle rencontre ou ne rencontre pas, il faut d'abord 

 qu'on ait 



mm' +nn' -\-l=o. 

 De plus , on a 



Am'+Bn'+C=o, 

 si la seconde droite est située , comme on voudra, dans le plan pro- 

 posé. Éliminant m' entre ces deux conditions simultanées , il vient 

 (An— Bot) n'-|-Cm — A = o. 

 Et puisque n' est complètement arbitraire , il faut qu'on ait à la 

 fois Cm — A=o et An — Bm=o ; d'où il vient 

 A=C»i et B=Cm. 

 Ce sont les deux conditions, nécessaires et suffisantes , pour que 

 la droite soit perpendiculaire au plan , c'est-à-dire perpendiculaire à 

 toute droite, située dans ce plan. Les équations de cette perpendi- 

 culaire sont donc 



Cx=Az+Ch.Cy=Bii-\-Ck. 

 Il y a donc une infinité de perpendiculaires à un même plan ; et 

 toutes sont parallèles entre elles. 



Muis la perpendiculaire est menée du point donné (xf,-t^,z') ; ses 

 équations sont donc 



C[x-x')==A(z-z'), C{y—y')=B{z-zr). 

 De sorte que, par un point donné , on ne peut mener qu'une 

 seule perpendiculaire à un plan donné. 



4° Maintenant , les coordonnées étant toujours rectangulaires , 

 soit d la longueur de l'oblique , depuis le point jusqu'au pian : on 

 aura d'abord 



d'=(ï— ^)'+(2/-2/r+(^-z')'; 



et ensuite, en substituant les valeurs, trouvées plus haut, 



((f=D V ('»'+«' + !)• 

 De là , en substituant les valeurs de D', de m et de n , qui con- 

 viennent à la perpendiculaire , il vient , pour en calculer la lon- 

 gueur d, l'équation 



d)/{A'-\-B'-^C^]=Aa/+By'-\-Cz'-{-D. 



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