328 J. N. NOËL. — Exercices 



5<> Edûu , observons qiit: la calcul dos dérieées , couduit facilcmeutà cvlte (.'i[ua- 

 tion et aux deux conditions de perpendicularité , au moyeu de l'expression de la 

 longueur d tle l'oblique. Mais il faut, pour simplifier, poser (/=k1)' ; ce qui donne 

 !/=(AM+Bn+Cr' X |/(l+m'+n'). 



Cela posé , la longueur d de l'oblique n'a d'autre viaximum que l'infiiii ; et quant 

 à son minimum^ il a lieu dès que cette oblique est perpendiculaire au plan. 



Ainsi, chercher les conditions du minimum de d ou de m, c'est chercher en 

 raêrae temps les conditions pour que la droite d, dont m et 7i sont les directions, soit 

 perpendiculaire au plan proposé. 



Or, u est ici fonction des deux variables ïn et «; de plus, la première dérivée de 

 u est nulle, soit qu'on dérive par rapport à la variable m seule ou par rapport à la 

 variable n seule , l'autre variable étant chatiue fois supposée avoir la valeur 

 constante qui convient au minimum de w. Egalant donc ces deux dérivées à zéro, 

 nu trouvera 



m(Am+B«-t-C:=A(14-m2+n=), 



7i(Ara-i-Brt+C)=B(l-i-m2-i-''^)- 

 Ces deux relations donnent aisément A=Cm et B=Cn : ce sont à la fois les deux 

 conditions pour que u ou d soit un minimum et pour que la longueur d soit perpen- 

 diculaire au plan ; d'oii résulte l'e.^prcssion de cette longueur perpendiculaire, 

 ti'ouvée plus haut. 



3. Calculer et construire les huit points représentés par le sys- 

 tème d'équations : 



a;H-»/'=13, x]j=^ et a;'4-2'=20. 

 Calculer tous les plans représentés par l'équation 



(a;'i— 12x' + llXy'-62/'+32/'-l-18i/ + 8)(3'— 9)=o. 

 El si les coordonnées sont rectangulaires , calculer les volumes 

 des deux parailélipipèdes rectangles déterminés, l'un par les valeurs 

 rationnelles de x, y, s, et l'autre par les valeurs irrationnelles. 



4. Calculer les arêtes, les diagonales, la surface elle volume du 

 parallélipipède rectangle, limité par les six plans 



x'-|-2a;=3,i/'— 4j/ = 5 et 2'— 8^=— 7, 

 les coordonnées étant rectangulaires ; et quel est celui de tous les 

 parallélipidèdcs , équivalents au proposé , qui soit de surface mi- 

 nimum? 



5. Connaissant les extrémités (x',y',z') et {x",y",z") d'une droite 

 donnée d , calculer le point [x,y,z) qui divise cette droite en deux 

 segments P et Q , donnant P=aQ,a étant un rapport donné et le 

 trièdre des coordonnées étant quelconque. 



On trouve généralement deux points; mais pour a^l, ces deux 

 points se réduisent au seul : 2x=x' -\-x" ,2y^y' -]-y" ,2z^z' -{- z" , 



6. Calculer les parallèles à l'axe des z , représentées par le sys- 

 tème d'équations : 



