330 J. N. Noël. — Exercices 



laut la somme des carrés des aires de ses projections sur les (rois 



plans coordonnés : effectuer tous ces calculs. 



12. Calculer les équations des deux pians, passant respective- 

 ment par les projections orthogonales des deux points (8, 12,4) el 

 (.16, 24, 8) sur les plans rectangulaires des coordonnées. Peut-on 

 calculer la plus courte distance de ces deux plans et quelle est-elle.? 



13. Quelle est la distance de l'origine des coordonnées rectan- 

 gulaires h chacun des deux plans passant par les projections ortho- 

 gonales des deux points (1 , 2, 3) et (3, 2, 1), sur les plans coordon- 

 nés, et quelle est l'aire du triangle ayant ces deux distances pour 

 côtés latéraux?— Soient A, B, C trois points respectifs des axes des x, 

 des 2/ et des i , à la même distance connue 2a de l'origine des coor- 

 données rectangulaires : quel est le lieu géométrique de tous les 

 points M tels , qu'on ait : 1 - MO'-|-MA' = MB'-fMC ? 2° la somme 

 de ces quatre carrés numériques égale à 16a'? 



14. Les coordonnées étant rectangulaires, calculer l'équation du 

 plan passant par les trois points (0, I, 2), (1,-1,4) et (4,2,6). 

 Calculer aussi la surface et le volume du tronc de prisme droit, dont 

 la section est le triangle qui joint ces trois points , el la base, le 

 triangle joignant les pieds des trois z. 



15. Lorsque les coordonnées sont rectangulaires, calculer l'équa- 

 tion du plan passant par le point (8, 6, 12) et la droite z=o,y^= 

 2x-\-A. Si d'ailleurs l'ellipse tracée sur le plan cherché, a pour pro- 

 jection orthogonale , sur le plan des xy, la circonférence ^■-\-y^ — 

 ix — 32=0 ; quels sont les axes et l'aire de cette ellipse ? 



16. Calculer la distance du point (10, 12, 20) au plan qui passe 

 par le point (2,5, 10) et parla droite s==0,?/=2x-l- 1. Démontrer 

 que l'angle, entre celte distance et le z=ÏO du dernier point, est la 

 mesure de l'angle dièdre compris par le plan cherché et celui des xy 

 rectangulaires. 



17. Les coordonnées étant rectangulaires, quelle est l'équation 

 de la parabole, située dans le plan x — 2y-\-2z — 8^0, laquelle a 

 pour projection , sur le plan des xy, la parabole y''^12x1 Quelles 

 sont les aires des se^jne»(s de ces paraboles, répondant à ^^=1 2? 



18. Lorsque les coordonnées sont rectangulaires, les deux droites 

 x^Sz — 50, 2/ = 2z— 24 et a:=z— 10,»/=4z — 64, sont coupées en 

 parties proportionnelles , à partir de leur intersection , par les deux 

 plans parallèles 2x—Sy-\-iz—&=0 el2a:— 3^+4z-f-8=0. Démon- 

 trer ce théorème , par le calcul, el faire voir que les intersections 

 du plan des deux droites avec les proposés sont parallèles entre elles. 



