de Géométrie analytique. 338 



des i!/ et des xz, déterminent trois tétraèdres : quels en sont les 

 volumes respectifs ? 



30. Les deux pla ns x — 2y-\-2z=o et 4x —y-{-z=o étant rap- 

 portés à des coordonnées rectangulaires; quel est le lien géomé- 

 trique de tous les points tels, que le carré de la distance de chacun 

 au premier plan vaille 8 fois le carré de la distance de ce point au 

 second plan? Quelle est l'expression du cosinus de l'angle des deux 

 plans résultants? 



La droite x=22-t-2,y^3z — 1 étant rapportée à des coordonnées 

 rectangulaires ; mener par le point (7,14,27) un plan perpendicu- 

 laire à cette droite , et calculer la distance de la droite au point. 

 Quels sont les équations de cette distance ? 



51. La droite numérique a étant donnée, calculer et construire les tro s points 

 tels, que 4a, 6a^ et 18a* soient les sommes respectives des puissances Irc, 2" et 4e 

 des coordonnées rectangulaires de chacun. — Démontrer que : 1" le triangle joignant 

 les trois points, ainsi déterminés , est équilatéral , tandis que les pieds des trois z 

 sont les sommets d'un triangle rectangle ; 2° les deux triangles sont la section et la 

 base du tronc de prisme triangulaire droit, équivalent aux deux tiers du cube 

 fait sur a; o° enfin, ce tronc et le tétraèdre, ayant le triangle équilatéral pour base 

 et l'origine pour sommet, sont équivalents entre eux. (Recherches analogues lorsque 

 2a, 6a^ et 8a-* sont les sommes respectives des puissances 1 , 2 et 3 des coordon- 

 nées rectangulaires de chaque point). 



Et si les coordonnées étant toujours rectangulaires, on a le système : 

 a;2+)/2+;2=14,iï-|-j:j-f-i/;=H,a:'+j'+^3=36; 

 non-seulement on peut calculer et construire les trois points représentés par ce sys- 

 tème d'équations ; mais, le triangle qui les joint éîant la section commune à trois 

 prismes triangulaires droits tronqués^ dont ses projections sur les plans coordonnées 

 sont les bases, on peut calculer le volume de chaque tronc; etc. Ou peut aussi con- 

 sidérer le système d'équations : 



i2-j_y2+s»=9,i)/+ j;;4.!/;=o et a;«-j-y«4-s»=33. 



Pour résoudre avec facilité , les difiérents systèmes d'équations ci-dessus, il fjul 

 donner à chacun la forme que voici ; 



x+y+^=i,'':y+x:-\-y==—* =' •'!/-=— 4. 



32. Calculer la surface et le volume du tétraèdre rectangle , re- 

 tranché du trièdre droit des coordonnées par le plan 



2x-[-2i/+5— 12=0, ou 9x 4-6»/ -^- 2s— 54=0. 



Calculer le centre et le rayon : 1° de la surface sphérique inscrite 

 an tétraèdre proposé T ; 2° de la surface sphérique circonscrits ; 

 3° de chacune des quatre surfaces sphériques exinscrites ; 4" enfin , 

 de la surface sphérique passant par les centres de ces quatre der- 



