334 J. N. NOËL. — Exercices 



33. Soil T le volume et S la surface totale du tétraèdre rectangle, 

 dont le plan de l'hypoténuse H a pour équation 



a o c 

 soient A, B, C les aires des faces du trièdre droit des coordonnées 

 respectivement opposées aux arêtes 2a, 2b, 2c de ce tétraèdre ; soit 

 r le rayon de la sphère inscrite dans T, et soient a',b',c',h' les rayons 

 des sphères exinscrites, touchant respectivement les faces A, B , 

 C, H : on aura toujours ces relations remarquables à démontrer : 

 /•S=3T,o'(S— 2A)= 3T,y(S-2B=3T, 

 c'(S— 2C)==3T et A'(S— 2H)— 3T. 

 De plus , le rayon de la sphère circonscrite est la demi-diagonale 



du parallélipipède dont T fait partie Parmi tous les parallélipi- 



pèdes rectangles inscrits dans T, quel est celui de plus grand volume 

 et de plus grande surface totale? 



34. Les coordonnées étant rectangulaires , construire le tétraèdre 

 qui joint les quaire points donnés {a,a,a),( — a,a,a),(a, — a,a) et 

 {a,a, — a). Quelle est l'équation du plan, passant par les trois der- 

 niers points? Calculer le centre et le rayon de la sphère circonscrite 

 au tétraèdre, ainsi que le rapport des volumes de ses deux parties, 

 déterminées par le plan des x>j. 



35. Calculer le volume et la surface du tétraèdre rectangle , re- 

 tranché du trièdre droit des coordonnées , par le plan des deux 



parallèles 



a;=m3+2 | x=:mz-\-S 



y=)îz + I \x=nz-\-2; 

 on sait que : 6 septièmes, 2 septièmes et 3 septièmes , sont les co- 

 sinus des angles respectifs que chacune des parallèles fait avec les 

 axes des x , des y et des z. 



36. Les coordonnées étant rectangulaires, soit (2,4,5) le point 

 commun aux deux droites 



x—2=m{z—5], I x— 2=— (z-5), 

 )/_.4=w(z— 5); I y—i=n'{z—5). 

 Si les cosinus des angles que la première droite fait avec les axes 

 des se , des y et des z , sont respectivement f , | et 7 : 1° quelles sont 

 les valeurs de m et n? 2° quelle est la valeur de n' qui rend les 

 deux droites perpendiculaires entre elles? 3° quelle est alors l'équa- 

 tion du plan de ces deux droites ? 4° enfin , quelle est la surface 

 totale du tétraèdre rectangle retranché, par ce plan, du trièdre droit 

 des coordonnées ? 



