33fi J. N. Noël. — Exercices 



42. Considérons l'ellipsoïde et le plan parallèle a l'axe des y rec- 

 tangulaires , savoir : 



4x'-j"6(/'+9;j»=36 et z=mx — 0. 



Quelle doit être la valeur de m , 1° pour que le plan coupe l'ellip- 

 soïde suivant un cercle? 2° pour que la section, projetée orlhogo- 

 nalement sur le plan des .xi/, donne une circonférence? 3° enfin, 

 pour que le plan n'ait qu'un point de commun avec l'ellipsoïde? — 

 Calculer chaque fois l'aire de la section et de sa projection; et dans 

 le second cas, quelles sont les expressions du volume et de la sur- 

 face du cjlindre droit tronqué, dont la section et sa projection sont 

 les bases? — Même problème , dans le premier cas, pour le volume 

 du cylindre elliptique tronqué. 



Il existe des recherches analogues aux précédentes pour les deux 

 hvperboloïdes et le paraboloïde elliptique. Par exemple, couper la 

 surface de révolution autour de l'axe des x rectangulaires, savoir : 

 y'^-'z' = 1'2r, par le plan i/=mr+l, et calculer m de telle sorte 

 que la projection orthogonale de la section résultante, sur le plan 

 des 12, soit une circonférence. — On peut alors calculer les aires 

 de la section et de sa projection , aussi bien que quand m^| , etc. 

 — Quelle est l'expression du volume du segment déterminé par le 

 plan a;=12? 



43. AXES PRINCIPAUX. Voyons comment on peut calculer les 

 longueurs des axes principaux dans les surfaces du second ordre , 

 douées de centres , les coordonnées étant rectangulaires. 



Toutes ces surfaces sont représentées par l'équation générale 

 Aoc^ + By'+Cz'-\-2J)xy+2Eocz+2Fyz=.G. 



Lorsque l'équation ne contient que les carrés des variables, les 

 coordonnées étant rectangulaires , on démontre aisément que les 

 trois axes principaux sont l'un le plus grand et l'autre le plus petit 

 de tous ses diamètres , le troisième axe étant maximum par rapport 

 au plus petit diamètre et minimum par rapport au plus grand. 



Cela posé , soit d un demi-diamètre quelconque de la surface 

 proposée ; il s'agit donc de calculer le maximum de d , son minimum 

 et la valeur intermédiaire. Or, pour cet effet , soient m et n les direc- 

 tions variables de d, et {x,y,z) son extrémité, appartenant à la sur- 

 face : on aura 



x=tnz,y^nz et d' = x''-]-y^+z\ 



Les X , y elz ont mêmes valeurs respectives dans les quatre équa- 

 tions précédentes; on peut donc en éliminer ces trois variables ; et 

 si l'on pose 



